Problema
O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Um deles foi o grande número de filhos gêmeos que teve.
O historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que:
- todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; e todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39.
Quantos filhos teve o emir?
Adaptado da OBM – 2000.
Solução
(Indicada a partir do 8º ano do E. F.)
Sejam
[tex]\qquad n[/tex]: número de filhos não gêmeos;
[tex]\qquad d[/tex]: pares de filhos gêmeos;
[tex]\qquad t[/tex]: triplas de trigêmeos;
[tex]\qquad q[/tex]: quádruplas de quadrigêmeos;
[tex]\qquad T[/tex]: total dos filhos.
Com isso, [tex]\boxed{\, T=n+2d+3t+4q\,}[/tex]. Mas pelo enunciado:
- todos os filhos eram gêmeos duplos, exceto 39;
- todos os filhos eram triplos, exceto 39;
- todos os filhos eram quádruplos, exceto 39;
logo:
- [tex]T-39=2d[/tex];
- [tex]T-39=3t[/tex];
- [tex]T-39=4q[/tex];
donde concluímos que:
[tex]\qquad 2d=3t=4q[/tex];
[tex]\qquad n+3t+4q=39[/tex];
[tex]\qquad n+2d+4q=39[/tex];
[tex]\qquad n+2d+3t=39[/tex].
Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad n+2\cdot2d=39[/tex];
[tex]\qquad n+2\cdot3t=39[/tex];
[tex]\qquad n+2\cdot4q=39[/tex];
e, sendo [tex]0\leq n[/tex], segue que:
[tex]\qquad 2\cdot2d\leq 39[/tex];
[tex]\qquad 2\cdot3t\leq39[/tex];
[tex]\qquad 2\cdot4q\leq39[/tex].
Resumindo, temos que [tex]0 \lt 2d = 3t = 4q \leq 19[/tex].
Com isso, se [tex]x= 2d = 3t = 4q[/tex] , então [tex]x[/tex] é um número natural não nulo, menor do que [tex]20[/tex] e múltiplo de [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex].
Nessas condições, temos uma única escolha: [tex]x=12[/tex]; e, então, [tex]d=6[/tex]; [tex]t=4[/tex]; [tex]q=3[/tex]; [tex]n=15[/tex].
Assim, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$T=15+12+12+12=51$}\,[/tex].
Portanto, emir Abdel Azir teve 51 filhos: 6 pares de gêmeos, 4 triplas de gêmeos, 3 quádruplas de gêmeos e 15 filhos que não eram gêmeos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Obmep estudos; SALVAMÁTICOS; ZOMÁTICA.