Problema
Sejam [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] números inteiros positivos tais que
[tex]\qquad \qquad \dfrac{43}{197}\lt\dfrac{\alpha}{\beta}\lt\dfrac{17}{77}[/tex].
Encontre o menor valor possível para [tex]\beta[/tex].
Solução
Como [tex]\dfrac{43}{197}\lt\dfrac{\alpha}{\beta}\lt\dfrac{17}{77}[/tex] e [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] são números positivos, segue que [tex]\dfrac{77}{17}\lt\dfrac{\beta}{\alpha}\lt\dfrac{197}{43}[/tex], portanto
[tex]\qquad 4+\dfrac{9}{17}\lt\dfrac{\beta}{\alpha}\lt 4+\dfrac{25}{43}.\qquad\qquad \qquad (i)[/tex]
Assim, podemos concluir que [tex]4\lt\dfrac{\beta}{\alpha}\lt 5[/tex] e, com isso,
[tex]\qquad \beta=4\alpha+z[/tex], com [tex]0\lt z \lt \alpha.\qquad\qquad (ii)[/tex]
De [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], segue que
[tex]\qquad 4+\dfrac{9}{17}\lt 4+\dfrac{z}{\alpha}\lt 4+\dfrac{25}{43}[/tex],
portanto, [tex]\dfrac{9}{17}\lt \dfrac{z}{\alpha}\lt \dfrac{25}{43}[/tex] e, consequentemente,
[tex]\qquad \dfrac{43z}{25}\lt \alpha \lt \dfrac{17z}{9}.\qquad\qquad \quad (iii)[/tex]
Mas qual é o menor valor inteiro de [tex]z[/tex] para o qual as desigualdades [tex](iii)[/tex] definem um inteiro positivo [tex]\alpha[/tex]?
Vejamos.
- [tex]z=1 \Rightarrow \dfrac{43}{25}\lt \alpha \lt \dfrac{17}{9} \Rightarrow 1+\dfrac{18}{25}\lt \alpha \lt 1+\dfrac{8}{9} \Rightarrow 1\lt\alpha\lt 2[/tex];
mas não existe um número inteiro entre [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex]. - [tex]z=2 \Rightarrow \dfrac{86}{25}\lt \alpha \lt \dfrac{34}{9} \Rightarrow 3+\dfrac{11}{25}\lt \alpha \lt 3+\dfrac{7}{9} \Rightarrow 3\lt\alpha\lt 4[/tex];
mas não existe um número inteiro entre [tex]3[/tex] e [tex]4[/tex]. - [tex]z=3 \Rightarrow \dfrac{129}{25}\lt \alpha \lt \dfrac{51}{9} \Rightarrow 5+\dfrac{4}{25}\lt \alpha \lt 5+\dfrac{2}{3} \Rightarrow 5\lt\alpha\lt 6[/tex];
mas não existe um número inteiro entre [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex]. - [tex]z=4 \Rightarrow \dfrac{172}{25}\lt \alpha \lt \dfrac{68}{9} \Rightarrow 6+\dfrac{22}{25}\lt \alpha \lt 7+\dfrac{5}{9} \Rightarrow 6\lt\alpha\lt 8[/tex];
assim, temos um valor inteiro para [tex]\alpha[/tex]: [tex]\alpha=7[/tex]. Neste caso, por [tex](ii)[/tex], [tex]\beta=4\alpha + z=4\times 7+4=32[/tex].
Observe que se [tex]z\ge 5[/tex], então [tex]\alpha \gt \dfrac{43z}{25} \ge\dfrac{43}{5}\gt 8[/tex] e com isso, por [tex](ii)[/tex], teríamos [tex]\beta\gt 37[/tex].
Portanto, de fato, o valor mínimo para [tex]\beta[/tex] é [tex]\fbox{$\beta=32$}[/tex].
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