Problema
Se [tex]n[/tex] é um número natural, denotaremos por [tex]p(n)[/tex] o produto dos algarismos de [tex]n[/tex].
Por exemplo, [tex]p(7)=7 \, [/tex] e [tex] \, p(25)=2\cdot 5=10[/tex].
Determine o valor da soma
[tex]\qquad \qquad p(1)+p(2)+\cdots +p(100)[/tex]
Solução
Seja [tex]S=p(1)+p(2)+p(3)+\cdots +p(100)[/tex].
Observamos inicialmente que, para os números terminados em [tex]0[/tex], o respectivo produto dos algarismos é [tex]0[/tex]; assim esses números em nada contribuem para a soma [tex]S[/tex]. Por outro lado, observamos também que:
[tex]\qquad p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)+p(7)+p(8)+p(9)=\\
\qquad =1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\,.[/tex]
Pronto, o problema está praticamente resolvido, pois :
[tex]\qquad \begin{align*} p(11)+p(12)+p(13)+ \, \cdots \, +p(19)&=1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3+ \, \cdots \, +1\cdot 9\\
&=1\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9); \end{align*}[/tex]
[tex]\qquad \begin{align*} p(21)+p(22)+p(23)+ \, \cdots \, +p(29)&=2\cdot 1+2\cdot 2+2\cdot 3+ \, \cdots \, +2\cdot 9\\
& =2\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9); \end{align*}[/tex]
e assim sucessivamente, até
[tex]\qquad \begin{align*} p(91)+p(92)+p(93)+ \, \cdots \, +p(99)&=9\cdot 1+9\cdot 2+9\cdot 3+ \, \cdots \, +9\cdot 9\\
&=9\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9)\end{align*}\,.[/tex]
Portanto,
[tex]\begin{align*} \quad S & = p(1)+p(2)+p(3)+\cdots +p(100)\\ &= \left[p(1)+ \, \cdots \, +p(9)\right]+\left[p(11)+ \, \cdots \, +p(19)\right]+\left[p(21)+ \, \cdots \, +p(29)\right]+\\
& \, \, + \, \cdots \, +\left[p(91)+ \, \cdots \, +p(99)\right]\\
& =45+1\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9)+2\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9)+ \, \cdots \,\\
&\cdots +9\cdot (1+2+3+ \, \cdots \, +9)
\\& = 45+(1+2+ \, \cdots \, +9)\cdot (1+2+ \, \cdots \, +9)
\\ & =45+(1+2+ \, \cdots \, +9)^2 \\&=45+45^2 \\&=2070,\end{align*}[/tex]
e, então, [tex]p(1)+p(2)+p(3)+\cdots +p(100)=2070[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Olimpíada: XIV ONM – 2014
Octavo Grado
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