.Problemão: Total de Bolas

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


Dino colocou em uma urna uma bola preta, quatro bolas brancas e algumas bolas azuis.

  • Pediu que seu filho André retirasse ao acaso uma bola dessa urna, observasse sua cor e devolvesse a bola à urna.
  • Em seguida, pediu que sua filha Sofia retirasse, novamente ao acaso, uma bola dessa mesma urna e também observasse a cor.
  • Dino calculou a probabilidade de as duas bolas retiradas por seus filhos terem a mesma cor e obteve [tex]\dfrac{1}{2}[/tex].

Quantas bolas poderiam ter sido colocadas na urna?

Solução


Seja [tex]x[/tex] o número de bolas azuis na urna.
Para que as bolas retiradas sejam de cores iguais, ambas podem ser pretas, brancas ou azuis. Assim, a probabilidade de ambas terem a mesma cor é dada por:

[tex]\qquad\qquad\left(\dfrac{1}{x+5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{x+5}\right)^2+\left(\dfrac{x}{x+5}\right)^2=\dfrac{1}{2}[/tex].

Após resolver essa equação, obtemos [tex]x=1[/tex] ou [tex]x=9[/tex] e, portanto, a quantidade total de bolas da urna é [tex]6[/tex] ou [tex]14[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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