.Problema de Olimpíada: Um arranjo com a OBM

Problema

(Extraído da XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA)

Solução

podemos concluir que o número de vezes em que a palavra OBM aparece na maior coluna é 669 vezes.

(b) Vamos utilizar as letras O da última coluna para fazer a contagem da esquerda para direita, ao longo de segmentos assim traçados:

• O primeiro segmento é traçado a partir da primeira letra O da última coluna e passa pelas primeiras letras O de cada linha do arranjo. Portanto, passa por 2008 letras O.
• Um segundo segmento é traçado a partir da segunda letra O da última coluna, passando pelas segundas letras O de cada linha do arranjo. As três primeiras linhas do arranjo não têm segundas letras O, portanto o segmento passa por 2008 – 3 = 2005 letras O.
• Um terceiro segmento é traçado a partir da terceira letra O da última coluna, passando pelas terceiras letras O de cada linha do arranjo. Como as seis primeiras linhas do arranjo não têm terceiras letras O, o segmento passa por 2008 – 6 = 2005 – 3 = 2002 letras O.

Seguindo esse padrão,

• o quarto segmento passará por 2002 – 3 = 1999 letras O,
• o quinto segmento passará por 1999-3=1996,
• o sexto por 1996-3=1993,

e assim sucessivamente, até que o último segmento passe, apenas, por uma letra O.
Com isso, o número de vezes que a letra O aparece no arranjo é
[tex]\qquad 2008+2005+2002+1999+1996+\cdots +1=\dfrac{(1+2008)\times 670}{2}=673015[/tex]
De fato, observe que a palavra OBM aparece completa 669 vezes na última coluna, assim teremos 669 segmentos traçados. Mas o resto 1 da divisão do item (a) indica que a última letra que aparece na última coluna é um O, assim a soma
[tex]\qquad 2008 + 2005 + 2002 + 1999 + 1996 + \cdots +1[/tex]
tem 670 parcelas. O último segmento nem chega a ser traçado, pois apenas a última linha tem esse último O.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.