.Problema de Gincana: Um seno de [tex]3x[/tex]

Problema

---

Se [tex]x[/tex] é um arco do segundo quadrante tal que [tex]sen(x) = \dfrac{1}{5}[/tex], então [tex]sen(3x)[/tex] é
[tex](a)\,\dfrac{6}{25}.\,\,\,\,\,\,[/tex]
[tex](b)\, \dfrac{13}{25}.\,\,\,\,\,\,[/tex]
[tex](c)\, \dfrac{71}{125}.\,\,\,\,\,\,[/tex]
[tex](d)\,\dfrac{119}{125}.\,\,\,\,\,\,[/tex]
[tex](e)\, N.R.A.[/tex]

Solução

---

Sendo [tex]sen(x)=\dfrac{1}{5}[/tex], pela relação fundamental da trigonometria, [tex]sen^2(x)+cos^2(x)=1[/tex], temos [tex]cos^2(x) = \dfrac{24}{25}[/tex].
Além disso,
[tex]\,\,sen(3x) = sen(2x + x) =[/tex]
[tex]\qquad\qquad = sen(2x) \cdot cos(x) + sen(x) \cdot cos(2x) \\
\qquad\qquad = 2 \cdot sen(x) \cdot cos(x) \cdot cos(x) + sen(x) \cdot (2 cos^2(x) – 1)\\
\qquad\qquad = 2 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{24}{25} + \dfrac{1}{5} \cdot \left(2 \cdot \dfrac{24}{25} – 1\right)\\
\qquad\qquad = \dfrac{48}{125} + \dfrac{1}{5} \cdot \left(\dfrac{48}{25} – 1\right)\\
\qquad\qquad = \dfrac{48}{125} + \dfrac{23}{125}\\
\qquad\qquad = \boxed{\dfrac{71}{125}}\,.[/tex]

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.