Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Dadas 3 retas paralelas em um mesmo plano, construa um triângulo equilátero que tenha cada um dos vértices sobre cada uma delas. Justifique sua resposta.
![triângulo sobre os trilhos](http://clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2015/08/triângulo-sobre-os-trilhos-300x245.jpg)
Solução
Inicialmente, observe que para qualquer triângulo equilátero, uma rotação com centro em um dos vértices e ângulo de [tex]60^{\circ}[/tex] levará um dos outros vértices no terceiro vértice.
Sejam [tex]a,\, b, \, c\, [/tex] as três retas paralelas e seja [tex]B[/tex] um ponto arbitrário na reta [tex]b[/tex].
Rotacionamos em [tex]60^{\circ}[/tex] a reta [tex]c[/tex], em torno do ponto [tex]B[/tex]. Chamemos de [tex]c'[/tex] essa nova reta.
Se considerarmos que o terceiro vértice, digamos [tex]C[/tex], pertence à reta [tex]c[/tex], então o vértice [tex]A[/tex] do triângulo seria a interseção da reta [tex]c'[/tex] com a reta [tex]a[/tex]. Com isso, teremos dois vértices do triângulo definidos:[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Para encontrar o vértice [tex]C[/tex], de fato, basta tomar a circunferência de centro em [tex]B[/tex] e extremidade em [tex]A[/tex], já conhecidos. A interseção da circunferência construída com a reta [tex]c[/tex] definirá precisamente o ponto [tex]C[/tex], procurado, já que, nesse caso, teremos [tex]BC=BA[/tex] e com ângulo de [tex]60^{\circ}[/tex] entre esses dois lados, o que conclui a prova.
Clique em AQUI para ver a solução dinâmica.
Note, ainda, que há duas soluções possíveis de acordo com o sentido de rotação arbitrado.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube: Os Nóbregas.