.Probleminha: Números na Fila

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

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Mostre que os números naturais de 1 a 16 podem ser escritos em fila sobre uma reta, formando uma sequência, de tal modo que a soma de quaisquer dois números vizinhos seja um quadrado perfeito.

Extraído do Banco de Questões da OBMEP 2011.

Solução

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Se partirmos do ponto que a afirmação feita é verdadeira, tal sequência existe; vamos, portanto, encontrá-la.
Observe que, como os números serão escritos sobre uma reta, a sequência tem um primeiro elemento e um último elemento; então os números que ficarão nas pontas só terão um vizinho e, consequentemente, só serão somados uma vez cada um para formar um quadrado perfeito.

Vamos determinar primeiramente o número que ficará na ponta inicial da sequência. Como esse número só vai ser somado uma vez com um número específico dentre os permitidos para formar um quadrado perfeito, vale observar que a menor soma entre os números que comporão a sequência é 1 + 2 = 3, e a maior 16 + 15 = 31.
Com base nisso, note que:

• os quadrados perfeitos possíveis de serem obtidos com as somas de vizinhos são os que ficam entre os números 3 e 31, ou seja, 4, 9, 16 e 25;
• particularmente, o número 16 deve ficar ao lado de números que somados com ele resulte em quadrados perfeitos maiores que 16, já que não há o número 0 nas opções de números da sequência.

Como para nossa sequência o único quadrado perfeito maior do que 16 é o 25, então o número 16 ficará em uma das pontas da sequência, ao lado do número 25-16=9. Vamos colocá-lo na ponta inicial.
Conhecendo o primeiro número da sequência, não é difícil encontrar os demais, uma vez que as somas entre dois vizinhos só poderão ser 4, 9, 16 ou 25.
Chegamos, portanto, ao resultado:
    16 – 9 – 7 – 2 – 14 – 11 – 5 – 4 – 12 – 13 – 3 – 6 – 10 – 15 – 1 – 8.
Confira!

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Solução enviada pelo Clube Eureka! , com contribuições do Clube OBMEP Estudos e dos Moderadores.