Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Rodrigo possui uma máquina copiadora com a qual é possível fazer reduções e ampliações.
Nessa máquina é possível fazer cópias de tamanhos iguais a 80%, 100% e 150% em relação ao tamanho original.
(a) É possível Rodrigo fazer uma cópia cujo tamanho seja 144% do original? Caso afirmativo, explique como isso pode ser feito e em caso negativo, justifique sua resposta.
(b) É possível Rodrigo fazer uma cópia cujo tamanho seja 156% do original? Caso afirmativo, explique como isso pode ser feito e em caso negativo, justifique sua resposta.
Solução
(a) Note que este problema é equivalente a resolver a equação [tex] \, (0,8)^n \cdot (1,5)^m = 1,44 \, [/tex] para [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] naturais.
Logo, temos que
[tex]\qquad \left(\dfrac{8}{10}\right)^n \cdot \left(\dfrac{15}{10}\right)^m = \dfrac{144}{100} [/tex]
[tex]\qquad 2^{3n} \cdot 3^m \cdot 5^m = 12^2 \cdot 10^{n+m-2} [/tex]
[tex]\qquad 2^{3n} \cdot 3^m \cdot 5^m = 2^{n+m+2} \cdot 3^2 \cdot 5^{n+m-2} [/tex]
e assim [tex]n=2 \, [/tex] e [tex] \, m=2[/tex].
Portanto é possível que Rodrigo faça uma cópia cujo tamanho seja igual a 144% do original. Para isso, basta que ele faça, por exemplo, duas cópias com tamanho 80% e, posteriormente, duas cópias com tamanho 150%, sendo cada uma dessas quatro cópias feitas a partir da cópia anterior.
b) De modo análogo ao item anterior, temos que resolver, agora, a equação [tex] \, (0,8)^n \cdot (1,5)^m = 1,56 \, [/tex].
Observe que:
[tex]\qquad \begin{align*}\left(\dfrac{8}{10}\right)^n \cdot \left(\dfrac{15}{10}\right)^m = \dfrac{156}{100}&\iff 2^{3n} \cdot 3^m \cdot 5^m = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 10^{n+m-2}\\
&\iff 2^{3n} \cdot 3^m \cdot 5^m = 2^{n+m} \cdot 3 \cdot 13 \cdot 5^{n+m-2}\,.\end{align*}[/tex]
Mas, pelo princípio da fatoração única, a equação
[tex]\qquad 2^{3n} \cdot 3^m \cdot 5^m = 2^{n+m} \cdot 3 \cdot 13 \cdot 5^{n+m-2}[/tex]
não tem solução em [tex] \mathbb{N}[/tex], tendo em vista que no produto que aparece do lado direito há o fator primo 13, enquanto que no produto do lado esquerdo não.
Dessa forma, não é possível que Rodrigo faça uma cópia cujo tamanho seja igual a 156% do original, usando a sua máquina copiadora.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.