.Problema de Gincana: O que muda?

Problema

Na figura, os pontos

$M$ e

$N$ são, respectivamente, os pontos médios dos lados

$PA \,$ e

$\, PB$ do triângulo

$PAB$ .

Ao deslizarmos $P$ por uma reta paralela ao lado $AB$ , quais das quatro grandezas indicadas a seguir mudarão?

Solução

(a) Como a medida do lado

$AB$ não é alterada e o comprimento do segmento

$MN$ é metade do comprimento de

$AB$ , então

$MN$ também não tem sua medida alterada.
(b) Obviamente o perímetro muda, pois as medidas dos segmentos

$PA \,$ e

$\, PB$ vão mudar, considerando que

$P$ ficará “mais longe” ou “mais perto” dos pontos

$A$ e

$B$ .
(c) A área do triângulo

$PAB$ não é alterada uma vez que as medidas da base

$AB$ e da respectiva altura serão mantidas.
(d) As bases

$AB$ e

$MN$ do trapézio

$ABNM$ não mudam, bem como a sua altura, já que esta é a metade da constante altura do triângulo

$ABC$ . Portanto a área do trapézio continua a mesma.
Pelo exposto, apenas uma das grandezas indicadas é alterada: o perímetro do triângulo

$PAB$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Simulação

Você pode utilizar o applet abaixo para fazer várias simulações do problema.
Basta movimentar o ponto

$P$ e verificar as mudanças das várias grandezas envolvidas.

Primeira Gincana de 2015 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Média