Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em uma sacola escura há 9 bolinhas de gude, de 3 cores diferentes.
Escolhidas duas delas ao acaso e sem reposição, a probabilidade de que sejam ambas vermelhas é de [tex]\dfrac{1}{6}[/tex].
Nesse caso, quantas bolinhas vermelhas há na sacola?
Solução 1
Usarei como ferramenta o princípio multiplicativo e proporção.
Bom, chamarei de [tex]n[/tex] a quantidade de bolas vermelhas.
Necessitamos, antes de mais nada, identificar os possíveis resultados dos pares de cores. E como de tudo que observamos o que muda é somente a cor (pois as bolas são iguais entre si), poderíamos dizer que existem apenas [tex]3^2=9[/tex] casos:
- c1c1 , c1c2, c1c3 , c2c1 , c2c2 , c2c3 , c3c1 , c3c2 , c3c3.
Contudo, esses casos não têm as mesmas chances de ocorrerem.
A solução consiste em considerar a quantidade total de maneiras de se retirar duas bolas distintas do saquinho, independente da cor. Ou seja, o resultado possível é a quantidade de pares de bolinhas distintas, que será [tex]9 \times 8 = 72[/tex]. Agora para calcular o número de bolas vermelhas, devemos observar que a primeira bola pode ser escolhida de [tex]n[/tex] maneiras, enquanto a segunda será de [tex](n-1)[/tex] maneiras. Logo temos [tex]n(n-1)[/tex] maneiras de sair bolas vermelhas.
Com isso vamos calcular a proporção:
[tex]\qquad \dfrac{1}{6} = \dfrac{n(n-1)}{72}[/tex].
Multiplicando ambos membros por [tex]72[/tex], fica:
[tex]\qquad 12 = n(n-1)[/tex]
ou ainda
[tex]\qquad n^2-n-12 =0[/tex].
Fatorando, obtemos [tex](n-4)(n+3) =0[/tex], donde, temos [tex]n \in \{4, -3\}[/tex]. Porém, não nos serve de nada a raiz de resultado negativo; logo, [tex]n=4[/tex].
Testando:
[tex]\qquad \dfrac{1}{6} = \dfrac{4 \times 3}{72} \\
\qquad \dfrac{1}{6}= \dfrac{12}{72}[/tex],
o que é verdade.
Conclusão: Nesse caso existem [tex]4[/tex] bolinhas vermelhas na sacola escura.
Solução elaborada pelo COM Fermatianos, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja [tex]n[/tex] a quantidade de bolas vermelhas contidas no interior da sacola.
Então, a probabilidade de que a primeira bola retirada seja vermelha é [tex]\dfrac{n}{9}[/tex].
Para a segunda retirada, a probabilidade de que a bola seja vermelha é [tex]\dfrac{n-1}{8}[/tex] (já que não houve reposição da primeira para a segunda retirada).
Assim, como a probabilidade de que sejam ambas vermelhas é [tex]\dfrac{1}{6}[/tex], temos que
[tex]\qquad \dfrac{n}{9} \cdot \dfrac{n-1}{8} = \dfrac{1}{6} \\
\qquad n \cdot (n-1)= 12 \\
\qquad n^2-n-12=0.\\
~~[/tex]
Resolvendo a equação [tex]n^2-n-12=0[/tex], obtemos que [tex]n=4[/tex] ou [tex]n=-3[/tex]. No entanto, [tex]n[/tex] é um número natural, pois representa uma quantidade de objetos; portanto, há [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4$}\,[/tex] bolinhas vermelhas na sacola.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.