Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Fernando tem um exército de soldadinhos de plástico. Quando ele formou filas de quatro soldadinhos, a última fila ficou com apenas três.
Quando Fernando resolveu formar filas com três soldadinhos em cada uma, ficaram apenas dois soldadinhos na última fila.
Se Fernando resolver formar filas com seis soldadinhos, quantos ficarão na última fila?
Solução
Seja [tex]s[/tex] o número de soldadinhos de Fernando.
- Se, ao formar filas de quatro soldados a última fica com apenas três, podemos concluir que [tex]s=4q + 3[/tex], isto é, o número de soldados de Fernando pode ser [tex]3, \, 7, \, 11, \, 15, \, 19, \cdots[/tex].
- Da segunda afirmação, sabemos que [tex]s=3k+2[/tex] e, assim, o número de soldados pode ser [tex]2, \, 5, \, 8, \, 11, \cdots[/tex].
Como [tex]s[/tex] é único, os valores possíveis de [tex]s[/tex] são os elementos comuns aos conjuntos [tex]\left\{3, \, 7, \, 11, \, 15, \, 19, \cdots\right\}\,[/tex] e [tex]\,\left\{2, \, 5, \, 8, \, 11, \cdots\right\}[/tex], que são: [tex]11, \,23, \,35, \,47,[/tex] etc.
Observe que, generalizando esse resultado, temos que são elementos comuns aos dois conjuntos os números da forma [tex]12m+11[/tex], sendo [tex]m[/tex] um número natural.
Agora, perceba que
- [tex]12 m + 11 = 6 \cdot (2m) + 6 + 5 = 6 \cdot (2m+1)+5;[/tex]
dessa forma, se Fernando montar filas com seis soldadinhos, ficará uma fila no final com [tex]5[/tex] soldados.
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