.Problema de Gincana: ab = a – b

Problema

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Dois números reais não nulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] satisfazem a igualdade [tex] \, ab = a-b[/tex].
Qual é, então, o possível valor de [tex] \, \boxed{\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a}-ab }\, [/tex]?

Solução

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Como [tex] \color{red}{\, ab = a-b}[/tex], temos que
[tex]\qquad \begin{align*}\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a}-ab \, &= \, \dfrac{a^2 + b^2}{\color{red}{ab}}-\color{red}{ab} \, \\
&= \, \dfrac{a^2 + b^2}{\color{red}{a-b}}-\color{red}{(a-b)} \, \\
&= \, \dfrac{a^2 + b^2}{a-b}-(a-b)\cdot \dfrac{(a-b)}{(a-b)} \, \\
&= \, \dfrac{a^2 + b^2}{a-b}-\dfrac{(a-b)^2}{a-b} \, \\
&= \, \dfrac{a^2 + b^2-(a-b)^2}{a-b} \, \\
&= \, \dfrac{a^2 + b^2-(a^2-2ab+b^2)}{a-b} \, \\
&= \, \dfrac{2ab}{\color{red}{a-b}} \, \\
&= \, \dfrac{2ab}{\color{red}{ab}} \, \\
&= \, 2.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex] \, \boxed{\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a}-ab =2 }\, [/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.