Problema
Leia com atenção as seguintes informações sobre Olimpíadas:
- A primeira Olimpíada da Era Moderna aconteceu em Atenas, no ano de [tex]1896[/tex].
- Por enquanto, a última ocorreu em [tex]2020[/tex], no Japão.
- Por causa das duas grandes guerras mundiais, houve interrupção dos jogos nos períodos de [tex]1914[/tex] a [tex]1918[/tex] e de [tex]1939[/tex] a [tex]1945[/tex].
- Houve uma edição comemorativa das Olimpíadas em [tex]1906[/tex], na cidade de Atenas.
- Os jogos olímpicos ocorrem de quatro em quatro anos.
Com base nas informações dadas, qual o número total de Olimpíadas efetivamente realizadas desde a primeira edição no ano de [tex]1896[/tex]?
Solução
Perceba que as Olimpíadas caem sempre em um ano múltiplo de [tex]4[/tex]:
[tex]\qquad 1896=4 \times 474;[/tex]
[tex]\qquad 1900=4 \times 475;[/tex]
[tex]\qquad 1904=4 \times 476;[/tex]
[tex]\qquad \cdots [/tex]
[tex]\qquad 2016= 4 \times504;[/tex]
[tex]\qquad 2020= 4 \times505.[/tex]
Assim, de [tex]1896[/tex] a [tex]2020[/tex] teríamos [tex]32[/tex] anos olímpicos; pois de, [tex]1896[/tex] a [tex]2012[/tex], temos
[tex]\qquad 505-474+1=32\,[/tex] múltiplos de [tex]4[/tex].
Mas sabemos que uma Olimpíada aconteceu fora de um ano olímpico [tex](1906)[/tex] e que outras três foram canceladas [tex](1916, 1940, 1944)[/tex]; assim, temos um total de
[tex]\qquad 32+1-3=30\,[/tex] olimpíadas realizadas até o ano de [tex]2020[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Primeira Gincana de 2015 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível A – Questão Média