Problema
Se três adultos glutões comem em média 16 cachorros quentes cada e dois adolescentes glutões comem 6 cachorros quentes cada, então qual a média de cachorros quentes comidos por cada membro desse quinteto?
Solução 1
A média procurada é a soma das cinco médias dividida por 5.
Portanto cada integrante do grupo comeu, em média, [tex]\dfrac{16+16+16+6+6}{5}=12[/tex] cachorros quentes.
Não entendeu? Então leia com atenção a dedução abaixo.
Suponha que
- [tex]A_1, \, A_2, \, A_3, \, C_1 \, [/tex] e [tex] \, C_2 \, [/tex] sejam as quantidades de cachorros quentes consumidos pelos três adultos e os dois adolescentes, respectivamente;
- [tex]M_1 \, [/tex] e [tex] \, M_2 \, [/tex] sejam as médias de cachorros quentes consumidas por cada adulto e cada adolescente, respectivamente;
- [tex]M[/tex] seja a média procurada.
Assim:
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, M=\dfrac{A_1+A_2+A_3+C_1+C_2}{5}=\dfrac{\dfrac{3\times(A_1+A_2+A_3)}{3}+\dfrac{2\times(C_1+C_2)}{2}}{5}\\
\, \, \, \, \, \, \, \, M=\dfrac{\left( 3\times\dfrac{A_1+A_2+A_3}{3}\right) +\left( 2\times\dfrac{C_1+C_2}{2}\right) }{5}\,.[/tex]
Mas
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, M_1=\dfrac{A_1+A_2+A_3}{3} \, \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, \, M_2=\dfrac{C_1+C_2}{2}[/tex]
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[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, M=\dfrac{\left( 3\times M_1\right) +\left( 2\times M_2\right) }{5}[/tex],
ou ainda,
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, M=\dfrac{\left( M_1+ M_1+ M_1\right) +\left( M_2+ M_2\right) }{5}=\dfrac{M_1+ M_1+ M_1 + M_2+ M_2}{5}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sejam A, B, C o número de cachorros-quentes comidos por cada adulto e E, F o número de cachorros-quentes comidos por cada adolescente.
Assim:
[tex]\qquad\qquad\dfrac{A+B+C}{3}=16 [/tex],
[tex]\qquad\qquad\dfrac{E+F}{2}=6 [/tex].
Dessa forma, temos que
[tex]\qquad\qquad A+B+C=48,\qquad (i)[/tex]
[tex]\qquad\qquad E+F=12.\qquad\qquad (ii)[/tex]
A média de cachorros-quentes comidos por cada membro do quinteto é dada por [tex] \, \dfrac{A+B+C+E+F}{5} [/tex].
Portanto, por [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], obtemos:
[tex]\qquad\qquad\dfrac{A+B+C+E+F}{5}=\dfrac{48+12}{5}= \dfrac{60}{5}=12[/tex].
e, então, cada integrante do grupo comeu, em média, [tex]12[/tex] cachorros-quentes.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível B – Questão Média