Problema
Uma determinada espécie de alga se reproduz dividindo-se em duas a cada dia. Assim, no primeiro dia, temos uma; no segundo dia, duas; no terceiro dia, quatro; no quarto, oito e assim por diante.
Se, começando com uma dessas algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume, em quanto tempo preencheremos o mesmo volume se começarmos com duas dessas algas?
Explique seu raciocínio.
Solução
(Indicada a partir do 1º ano do E. M.)
Observa-se que a quantidade de algas varia segundo uma PG; portanto, podemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]a_n = a_1 \times q^{n-1} [/tex].
Os dados propostos pela primeira sequência do exercício são:
[tex]\qquad a_1 = 1[/tex]
[tex]\qquad q = 2[/tex]
[tex]\qquad n =30[/tex],
assim:
[tex]\qquad a_n = 1 \times 2^{30-1}[/tex]
[tex]\qquad a_n = 2^{29}[/tex].
Na segunda sequência temos:
[tex]\qquad a_n = 2^{29}[/tex]
[tex]\qquad a_1 = 2^2[/tex]
[tex]\qquad q = 2[/tex]
[tex]\qquad n = ?[/tex];
dessa forma:
[tex]\qquad 2^{29} = 2^1 \times 2^{n-1}[/tex]
[tex]\qquad 2^{29} = 2^{1+n-1}[/tex]
[tex]\qquad 29 = 1+n-1[/tex]
[tex]\qquad n = 29[/tex].
Portanto, o número de dias que precisamos para preencher o volume iniciando com 2 algas será de 29 dias.
Solução elaborada pelo COM KHÉRIMA, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Começar com duas algas equivale a estar no segundo dia tendo começado com uma só.
Logo, precisa-se de menos um dia, ou seja, 29 dias.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
Participaram da discussão os Clubes: KHÉRIMA; Os Aprendizes de Einstein; Todos pela Matemática.