Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Querendo completar os álbuns de figurinhas da Copa do Mundo, um grupo de amigos se reuniu para vender suas figurinhas repetidas. Logo no início, os amigos estabeleceram os seguintes preços:
(a) figura de jogador da seleção brasileira vale R$ 5,00;
(b) figura de jogador de outra seleção que já foi campeã mundial vale R$ 3,00 e
(c) com R$ 1,00 compra-se três figuras de jogadores de seleções que não foram campeãs mundiais de futebol.
Sabendo que uma pessoa gastou R$ 100,00 na compra de 100 figurinhas, quantas figuras de cada tipo essa pessoa poderia ter comprado?
Solução
Com relação à compra efetuada, sejam
- [tex]x[/tex] o número de figuras de jogadores da seleção brasileira;
- [tex]y[/tex] o número de figuras de jogadores de outras seleções que já foram campeãs mundiais;
- [tex]z[/tex] o número de figuras de jogadores de outras seleções.
Foram compradas [tex]100[/tex] figurinhas; assim,
[tex]\qquad x + y + z = 100 \,.\,\,\,\,\, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como foram gastos [tex]100[/tex] reais e sabemos o preço de cada tipo de figurinha, segue que
[tex]\qquad 5x + 3y + \dfrac{z}{3} = 100 \\
\qquad 15x + 9y + z = 300\,.\,\,\,\,\,\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] temos [tex]\boxed{z = 100-x-y\,}\,[/tex], que substituído em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] nos fornece
[tex]\qquad 15x + 9y + (100-x-y) = 300\\
\qquad 14x + 8y +100 = 300\\
\qquad 14x+8y = 200\\
\qquad \boxed{y=25-\dfrac{7x}{4}\,}.[/tex]
Como [tex]y[/tex] é um número natural, concluímos que [tex]x[/tex] é divisível por [tex]4[/tex]. Analisando possíveis valores de [tex]x[/tex], construímos a tabela a seguir.
|
[tex]x[/tex] divisível por 4 |
[tex]y=25-\dfrac{7x}{4}[/tex] |
[tex]z = 100-x-y[/tex] |
| 0 | 25 | 75 |
| 4 | 18 | 78 |
| 8 | 11 | 81 |
| 12 | 4 | 84 |
Observe que para valores de [tex]x[/tex] maiores do que [tex]12[/tex], teremos valores negativos para [tex]y[/tex], o que não pode ocorrer.
|
[tex]x[/tex] divisível por 4 |
[tex]y=25-\dfrac{7x}{4}[/tex] |
[tex]z = 100-x-y[/tex] |
| 0 | 25 | 75 |
| 4 | 18 | 78 |
| 8 | 11 | 81 |
| 12 | 4 | 84 |
| 16 | -3 (absurdo) | |
| 20 | -10 (absurdo) |
Assim, as 100 figurinhas que a pessoa em questão poderia ter comprado com 100 reais são as calculadas nas quatro situações iniciais acima, conforme mostra a tabela a seguir.
| Figurinhas de jogadores da seleção brasileira | Figurinhas de jogadores de outras seleções campeãs | Figurinhas de jogadores de outras seleções |
| 0 | 25 | 75 |
| 4 | 18 | 78 |
| 8 | 11 | 81 |
| 12 | 4 | 84 |
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