.Problemão: Em busca de um polinômio

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Extraído de 21 aulas de Matemática Olímpica.

Solução

O polinômio buscado deve ser da forma $p(x)(x^2+1)$, onde $p(x)$ é um polinômio. Além disso, deve ser da forma $q(x)(x^2+x+1)+1$, onde $q(x)$ também é um polinômio. Assim,

$\qquad p(x)(x^2+1)=q(x)(x^2+x+1)+1$

$\qquad p(x)(x^2+1)=q(x)(x^2+1)+q(x)x+1$

$\qquad (p(x)-q(x))(x^2+1)=q(x)x+1.$

Perceba que uma escolha razoável respeitando a igualdade acima é considerar $p(x)-q(x)=1$ e $q(x)=x$. Assim, $p(x)=x+1$ e um polinômio que cumpre os requisitos do enunciado é $p(x)(x^2+1)=(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$. De fato, além de ser divisível por $x^2+1$, temos $x^3+x^2+x+1=x(x^2+x+1)+1$, ou seja, este polinômio deixa resto $1$ quando dividido por $x^2+x+1$.

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