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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Seja A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Determinar o menor inteiro positivo m tal que qualquer subconjunto de A com m elementos tenha, pelo menos, um número primo.
Solução
Observe que no conjunto A temos números primos e números não primos:
- primos:2,3,5,7,11,13,
- não primos:1,4,6,8,9,10,12,14,15.
(O número 1 não é primo nem composto, por isso é que separamos os números do conjunto A em primos e não primos e não em primos e compostos.)
Observe, agora, que o maior subconjunto de A com números não primos é exatamente
B={1,4,6,8,9,10,12,14,15};
assim, podemos concluir que
- " Se considerarmos conjuntos com mais de nove elementos, então necessariamente esses conjuntos terão, pelo menos um número primo ".
Não conseguiu se convencer da veracidade da afirmação?
Então, pensemos juntos.
- Vamos tentar definir um subconjunto S de A com dez elementos, formado apenas de números não primos:
S={_,_,_,_,_,_,_,_,_,_}
Como poderíamos preencher os dez espaços?
Bom, iniciemos o preenchimento com os números não primos de A:
S={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,?_}
E agora, como preencheremos a última lacuna???
Não tem jeito, não é? Só sobraram os números primos de A
S={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,primo_}
Para amadurecer a resposta, vejamos as situações de todos subconjuntos com mais de nove elementos:
S10={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,p1_}
S11={1_,4_,6_,8_,12_,10_,12_,14_,15_,p1_,p2_}
S12={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,p1_,p2_,p3_}
S13={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,p1_,p2_,p3_,p4_}
S14={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,p1_,p2_,p3_,p4_,p5_}
S15={1_,4_,6_,8_,9_,10_,12_,14_,15_,p1_,p2_,p3_,p4_,p5_,p6_}
onde p1,p2,p3,p4,p5,p6∈{2,3,5,7,11,13}.
Então, o menor inteiro positivo m tal que qualquer subconjunto de A com m elementos tenha, pelo menos, um número primo é m=10.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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