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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Que relação algébrica é possível deduzir a partir da imagem abaixo, na qual visualizamos dois retângulos iguais, embora coloridos com cores distintas, e dois quadrados distintos?
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Solução
Observando a figura abaixo, vemos que, geometricamente a área [tex]S_{ABHF}[/tex] do retângulo roxo pode ser calculada como a diferença entre as áreas [tex]S_{ABCD}[/tex] e [tex]S_{FHCD}[/tex] respectivas dos também retângulos [tex]ABCD[/tex] e [tex]FHCD[/tex], o que nos fornece a igualdade:
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FHCD}.\qquad \textcolor{#9966FF}{(i)}[/tex]
Particularmente, a área do retângulo [tex]FHCD[/tex] é a soma das áreas do retângulo [tex]FGED[/tex] e do quadrado [tex]GHCE[/tex], ou seja:
[tex]\qquad S_{FHCD}=S_{FGED}+S_{GHCE}.\qquad \textcolor{#9966FF}{(ii)}[/tex]
Portanto, das igualdades [tex]\textcolor{#9966FF}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#9966FF}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-\left(S_{FGED}+S_{GHCE}\right)\\
\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FGED}-S_{GHCE} .\qquad \textcolor{#9966FF}{(iii)}[/tex]
Mas, a partir das medidas [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] definidas na mesma figura, podemos reescrever algebricamente a igualdade [tex]\textcolor{#9966FF}{(iii)}.[/tex] Observe
[tex]\qquad S_{ABHF}=S_{ABCD}-S_{FGED}-S_{GHCE} \\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a \cdot (a+b) -a \cdot b- b^2\\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a^2 +a \cdot b -a \cdot b- b^2\\
\qquad (a+b) \cdot (a-b)= a^2 – b^2.[/tex]
A igualdade [tex]\boxed{ (a+b) \cdot (a-b)= a^2 – b^2}[/tex] obtida nada mais é do que o produto notável denominado produto da soma pela diferença de dois termos.
COM União Fibonacci (IFRN – Campus Nova Cruz, RN).
Equipe COM – OBMEP.