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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Duas pessoas disputarão um prêmio da seguinte maneira:
- Em uma urna serão colocadas nove bolas vermelhas e uma azul. Cada um dos participantes retira, alternadamente, uma destas bolas. Se a bola retirada for vermelha ela será inserida novamente na urna e será a vez do outro participante retirar uma bola.
Quem retirar a bola azul primeiro será o vencedor.
Qual é a probabilidade de o primeiro a jogar ganhar o prêmio?
Solução
Vamos denotar por [tex]p_1[/tex] e [tex]p_2[/tex] a probabilidade de o primeiro e de o segundo a jogar, respectivamente, ser o vencedor.
Também denotaremos por [tex]A[/tex] o evento o segundo jogador ganha e, por [tex]B[/tex], o evento o primeiro jogador não ganha na primeira retirada.
Usando a fórmula de probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade de o segundo jogador ganhar, se o primeiro jogador não ganhar na primeira retirada; é esta a fórmula:
[tex]\qquad \qquad P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.[/tex]
- Observem que, se o primeiro a jogar não retirar a bola azul, então o segundo a jogar se encontra com a mesma chance de vencer o prêmio que o primeiro jogador se encontrava no início da competição, ou seja, [tex]\boxed{P(A|B)=p_1}.[/tex]
- Podemos calcular que a probabilidade do primeiro jogador não retirar a bola azul na primeira tentativa é [tex]9/10[/tex], ou seja, [tex]\boxed{P(B)=9/10}.[/tex]
- Por último, observem que [tex]A\subset B[/tex], pois o segundo jogador ganha somente se o primeiro jogador não retirar a bola azul na primeira tentativa; assim, [tex]A\cap B=A[/tex] e, portanto, [tex]\boxed{P(A\cap B)=P(A)=p_2}.[/tex]
Substituindo essas três informações na fórmula da probabilidade condicional, segue que:
[tex]\qquad p_1=\dfrac{p_2}{9/10}\\
\qquad p_2=(9/10)\cdot p_1.[/tex]
Finalizando, como sabemos que [tex]p_1+p_2=1[/tex], temos [tex]p_1+(9/10)p_1=1[/tex], ou seja, [tex](19/10)p_1=1[/tex] e, portanto, [tex]p_1=10/19\approx 0,53[/tex].
Então, o primeiro a jogar tem probabilidade aproximada de [tex]53\%[/tex] de vencer.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.