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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Um torneio de um determinado esporte será realizado com [tex]16[/tex] participantes num regime de mata-mata, ou seja, serão disputados [tex]8[/tex] confrontos nas oitavas de final e os vencedores avançam para as quartas de final e, assim por diante, até a final. Para se decidir o vencedor de um confronto serão realizadas [tex]15[/tex] disputas entre os dois participantes. Vale ressaltar que cada disputa termina com um vencedor, não existem empates. Serão distribuídos [tex]R\$\, 10\, 000,00[/tex] em premiações da seguinte maneira:
- Oitavas de final: O vencedor de um confronto nas oitavas de finais ganha [tex]R\$\, 250,00[/tex], e mais [tex]R\$ \,250,00[/tex] serão divididos entre os dois oponentes deste confronto de forma proporcional ao placar final das [tex]15[/tex] disputas que definiram o vencedor.
– Por exemplo, se o placar do confronto for de [tex]10[/tex] a [tex]5[/tex], o vencedor ganha, além dos [tex]R\$\, 250,00[/tex] por ter vencido o confronto, um adicional de [tex]\dfrac{10}{15}\times 250=166,66[/tex] e o perdedor ganha [tex]\dfrac{5}{15}\times 250=83,33[/tex]. - Quartas de final: O vencedor de um confronto nas quartas de finais ganha [tex]R\$ \,300,00[/tex], e mais [tex]R\$ \,300,00[/tex] serão divididos entre os dois oponentes deste confronto de forma proporcional ao placar final das [tex]15[/tex] disputas que definiram o vencedor.
- Semifinal: O vencedor de um confronto nas semifinais ganha [tex]R\$ \, 450,00[/tex], e mais [tex]R\$ \, 450,00[/tex] serão divididos entre os dois oponentes deste confronto de forma proporcional ao placar final das [tex]15[/tex] disputas que definiram o vencedor.
- Final: O vencedor do confronto final ganha [tex]R\$ \, 900,00[/tex], e mais [tex]R\$ \, 900,00[/tex] serão divididos entre os dois oponentes deste confronto de forma proporcional ao placar final das [tex]15[/tex] disputas que definiram o vencedor.
Qual é a maior e menor premiação possível para o vencedor deste torneio?
Solução
- Podemos observar que a maior premiação possível para o primeiro colocado ocorrerá quando ele vencer todos os confrontos por um placar de [tex]15[/tex] a [tex]0[/tex]. Com este placar em cada confronto ele receberá integralmente a parte destinada a ser dividida proporcionalmente ao placar do confronto. Desta maneira ele receberá:
[tex]\qquad 250+250+300+300+450+450 +900+900=R\$ \,3\,800[/tex].
Portanto, a premiação máxima para o primeiro colocado será de [tex]\boxed{R\$ \,3\,800,00}.[/tex] - Para calcular a premiação mínima possível para o vencedor devemos observar que para ser o campeão ele deverá vencer seus confrontos e portanto receberá inevitavelmente [tex]250+300+450+900=1\,900[/tex] reais por essas vitórias. Por outro lado, para a premiação ser a mínima possível ele deverá vencer pelo placar mínimo de [tex]8[/tex] a [tex]7[/tex], recebendo um adicional de
[tex]\qquad \dfrac{8}{15}\times 250+\dfrac{8}{15}\times 300+\dfrac{8}{15}\times 450+\dfrac{8}{15}\times 900=133,33+160+240+480=R\$\, 1\,013,33.[/tex]
Portanto, a premiação mínima para o primeiro colocado será de [tex]1\,900+1\,013,33=\boxed{R\$ \, 2\, 913,33}.[/tex]
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