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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sabendo-se que a soma de todos os divisores positivos [tex]d_1,\, d_2,\, \cdots,\, d_k[/tex] de um número natural [tex]n[/tex] é [tex]124[/tex], com [tex]d_i \ne d_j[/tex] para [tex]i \ne j[/tex], calcule o valor de [tex]\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots + \dfrac{1}{d_k}[/tex] em função de [tex]n.[/tex]
Solução
Observe que entre os divisores [tex]\{d_1,\, d_2,\, \cdots,\, d_k\}[/tex] se encontra o próprio número [tex]n[/tex]. Assim, o mínimo múltiplo comum desses divisores deve ser o próprio [tex]n[/tex], já que, por definição de divisor, [tex]n[/tex] é múltiplo de cada um dos seus divisores. Logo, [tex]\text{mmc} (d_1, d_2, \cdots, d_k)=n[/tex].
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots + \dfrac{1}{d_k}=\dfrac{\dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+ \dfrac{n}{d_k}}{n}.[/tex]
Agora, observe que para cada divisor [tex]d_i[/tex] de [tex]n[/tex] existe um único [tex]d_j[/tex] (também divisor de [tex]n[/tex]), tal que [tex]n=d_i\cdot d_j[/tex], ou seja, [tex]\dfrac{n}{d_i}=d_j[/tex].
Como [tex]d_j[/tex] existe e é único para cada [tex]d_i[/tex], segue que os quocientes [tex]\,\dfrac{n}{d_1},\,\dfrac{n}{d_2},\,\cdots, \, \dfrac{n}{d_k}\, [/tex] esgotam os divisores de [tex]n[/tex]; com isso temos que:
[tex]\qquad \dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+ \dfrac{n}{d_k}\stackrel{\color{red}{*}}{=}d_1+d_2+\cdots+ d_k=124[/tex].
[tex]\qquad \color{red}{*}[/tex] não necessariamente nesta ordem.
Finalmente, concluímos que
[tex]\qquad \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots + \dfrac{1}{d_k}=\dfrac{\dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+ \dfrac{n}{d_k}}{n}\\
\quad \boxed{\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots + \dfrac{1}{d_k} =\dfrac{124}{n}}.[/tex]
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