(A) Problema: Quadrado Mágico

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

[tex]
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
6 & 7 & 2\\ \hline
1 & 5 & 9 \\ \hline
8 & 3 & 4 \\ \hline
\end{array}
[/tex]

Neste quadrado formado por números naturais distintos entre si, a adição dos números em cada linha, coluna ou diagonal resulta sempre no mesmo valor. Para o exemplo mostrado, a “soma mágica” é [tex]15[/tex].

Tendo em mente as propriedades deste exemplo, construa um quadrado mágico multiplicativo [tex]3\times 3[/tex], isto é, um quadrado com nove números naturais distintos entre si e não necessariamente consecutivos tais que o produto dos números em cada linha, coluna ou diagonal resulta sempre no mesmo valor.

Solução

• Sejam [tex]a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, f[/tex] números naturais tais que [tex]\,\boxed{a+b+c=d+e+f}\,. [/tex] Então, para qualquer natural [tex]n[/tex], temos:
  [tex]\quad n^{a+b+c}=n^{d+e+f}\\
  \quad n^{a}\times n^{b}\times n^{c}=n^d\times n^e\times n^f.[/tex]

Assim, podemos usar todas as igualdades da adição dos elementos de linhas, colunas ou diagonais do nosso quadrado aditivo para obter igualdades resultantes da multiplicação dos novos elementos que serão definidos. Para evitar números muito grandes vamos usar [tex]n=2[/tex]. Observem que usar [tex]n=1[/tex] não serve: teríamos todas as entradas iguais a [tex]1[/tex]! Nosso quadrado mágico multiplicativo será então

[tex]\begin{array}{|c|c|c|}\hline
2^\textcolor{red}{6} & 2^\textcolor{red}{7} & 2^\textcolor{red}{2}\\ \hline
2^\textcolor{red}{1} & 2^\textcolor{red}{5} & 2^\textcolor{red}{9} \\ \hline
2^\textcolor{red}{8} & 2^\textcolor{red}{3} & 2^\textcolor{red}{4} \\ \hline
\end{array}
[/tex]

ou

[tex]
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
64 & 128 & 4\\ \hline
2 &32 & 512 \\ \hline
256 & 8 & 16 \\ \hline
\end{array}
[/tex]

Nesse quadrado, a multiplicação dos elementos de cada linha, coluna ou diagonal resulta no mesmo número: [tex]2^{15}=32768[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.