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Problema
(Indicado a partir da [tex]1^a[/tex] Série do E. M.)
Calcule os valores de [tex]x, y , u [/tex] e [tex]v[/tex] que satisfazem o seguinte sistema de quatro equações:
Extraído de A Arte de Resolver Problemas. G. Pólya. .
Solução
Observem que existe certa simetria entre a primeira e a quarta destas equações e entre a segunda e a terceira.
Somando a primeira com a quarta e a segunda com a terceira obtemos:
[tex]\qquad 6x+10y+10v+6u=0[/tex]
[tex]\qquad 10x+10y+10v+10u=0.[/tex]
Podemos agrupar algumas incógnitas dessas equações da seguinte forma:
[tex]\qquad 6(x+u)+10(y+v)=0[/tex]
[tex]\qquad 10(x+u) +10(y+v)=0.[/tex]
Podemos escrever [tex]\boxed{ x+u=X}~[/tex] e [tex]~\boxed{y+v=Y}[/tex] para obter duas equações com duas incógnitas cada e definir um novo sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}6X+10Y=0\\
10X +10Y=0 \end{cases}.[/tex]
Subtraindo a primeira equação da segunda, segue que:
[tex]\qquad 4X=0[/tex]
[tex]\qquad X=0.[/tex]
Substituindo [tex]X=0[/tex] em qualquer uma das equações do segundo sistema, obtemos [tex]Y=0[/tex].
Assim, [tex]x+u=0[/tex] e [tex]y+v=0[/tex] e, concluímos que [tex]u=-x[/tex] e [tex] v=-y[/tex]. Inserindo essas informações nas duas primeiras equações do sistema original encontramos o sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}-4x+4y=16\\
6x-2y=-16\end{cases}.[/tex]
Somando a primeira destas equações com o dobro da segunda, temos que:
[tex]\qquad 8x=-16\\
\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=-2$}\,.[/tex]
Logo,
[tex]\qquad -4(-2)+4y=16\\
\qquad 8+4y=16\\
\qquad 4y=8\\
\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=2$}\,.[/tex]
Finalmente, como [tex]u=-x~[/tex] e [tex]~v=-y[/tex], segue que os valores das outras incógnitas são [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$u=2$}\,[/tex] e [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$v=-2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.