(A) Sala de Atividades: A Matemática das Alavancas – Sala 1

A Matemática das Alavancas – Sala 1

Dê-me uma equação e levantarei o mundo!

O título desta Sala parodia uma famosa citação atribuída ao matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.).

Imagem extraída do site Pensador. (Acesso em 22/02/2024.)

É claro que tal citação não é para ser tomada ao pé da letra. Provavelmente, Arquimedes ao fazer a afirmação em questão quis somente registrar e realçar o seu entusiasmo pelo Princípio da Alavanca!
Mas, de toda forma,

O que são alavancas?

Ao longo da história, o Homem procurou melhorar suas condições de trabalho, principalmente no que se refere à redução de esforço físico. Assim, buscou meios alternativos que lhe permitissem realizar as tarefas de modo mais fácil e com o menor gasto possível de tempo e de esforço.
Os primeiros instrumentos desenvolvidos com essa finalidade de que se têm notícia foram a alavanca, a roda e o plano inclinado que, pela simplicidade com que são utilizadas, ficaram conhecidos como máquinas simples.

Fonte da imagem: TELECURSO-2000 – Universo da Mecânica.

Alavancas são objetos rígidos que podem girar em torno de um eixo sob a ação de forças. Uma alavanca consiste normalmente em uma barra/haste rígida móvel em torno de um ponto fixo.
Particularmente, uma alavanca é uma máquina simples que multiplica uma força aplicada a um corpo/objeto; um pedaço de pau para deslocar uma pedra, um quebra-nozes, um alicate, uma gangorra ou um “pegador” de padaria são alguns exemplos de alavancas. Durante nossa discussão, apresentaremos outros exemplos.

Imagem extraída do site Wikipédia.(Acesso em 22/02/2024.)

O funcionamento de uma alavanca depende basicamente de três elementos:

➤ a força do operador ou força potente ([tex]F_P[/tex]): força aplicada a fim de executar o movimento; é o “esforço” exercido com o objetivo de, por exemplo, levantar, sustentar, equilibrar objetos.
➤ a força de resistência ou força resistente ([tex]F_R[/tex]): força que resiste ao movimento; é a “resistência” exercida pelo objeto que se quer levantar, sustentar, equilibrar.
➤ o ponto de apoio ou fulcro ou ponto fixo ([tex]P_F[/tex]): ponto que possibilita que a alavanca rotacione; é o ponto em torno do qual a alavanca pode girar.

Classificação das Alavancas

Dependendo da posição do ponto de apoio e dos pontos onde as forças potência e de resistência serão aplicadas, podemos classificar as alavancas em três tipos principais:

➤ Alavancas do primeiro gênero ou interfixas – Neste tipo de alavanca, o ponto de apoio está localizado entre o ponto de aplicação da força potente e o da força resistente (entre, não necessariamente no meio).
Na figura a seguir ilustramos duas possíveis posições dos três pontos que caracterizam uma alavanca interfixa.



Exemplos de alavancas interfixas: tesoura, martelo quando usado para retirar pregos, gangorra. Nas imagens abaixo, além do ponto fixo, destacamos os pontos de aplicação das forças potente e de resistência dessas três alavancas.



Na verdade, a tesoura é a união de duas alavancas interfixas idênticas apoiadas no mesmo ponto fixo.



➤ Alavancas do segundo gênero ou inter-resistentes – Em alavancas deste tipo, o ponto de aplicação da força resistente está entre o da força potente e o ponto de apoio.



Exemplos: quebra-nozes, abridor de garrafas, carrinho de mão.
Nas figuras a seguir, para cada alavanca destacamos o ponto fixo e os pontos de aplicação das forças potente e de resistência.



Note que o quebra-nozes também é união de duas alavancas, só que de duas alavancas inter-resistentes.

➤ Alavancas do terceiro gênero ou interpotentes – Nas alavancas deste tipo, o ponto de aplicação da força potente está localizado entre o ponto de apoio e o ponto onde atua a força resistente.



Exemplos: vara de pescar, pinça. Nas imagens, podemos observar o ponto fixo e os pontos de aplicação das forças potente e de resistência dessas duas alavancas.



Aqui, vemos que a pinça é união de duas alavancas interpotentes.

💡 Dica: O prefixo “inter” significa entre uma coisa e outra. Assim, fica fácil guardar os nomes: INTERfixa (ponto fixo no meio),  INTER-resistente (ponto de apoio da força resistente no meio) e INTERpotente (ponto de apoio da força potente no meio).

Imagem extraída do site Mundo Educação. (Acesso em 22/02/2024.)

Independentemente do tipo de alavanca, dois elementos importantes para os cálculos que efetuaremos são os braços de uma alavanca:
➤ braço de potência: é a distância entre o ponto de aplicação da força potente e o ponto fixo;
➤ braço de resistência: é a distância entre o ponto de aplicação da força resistente e o ponto fixo.

Denotando por B_P e B_R os braços de potência e de resistência, respectivamente, podemos ilustrar esses conceitos nos três tipos de alavancas como na figura a seguir.

Alavancas no corpo humano

Vamos apresentar agora as alavancas mais importantes das nossas vidas: aquelas que estão no nosso próprio corpo!
No corpo humano, os ossos funcionam como hastes rígidas de alavancas, as articulações agem como ponto fixo e os músculos oferecem as forças potentes para atividades corriqueiras como por exemplo levantar objetos, andar e mastigar.
Esse tema será explorado, inicialmente, nas duas próximas atividades.

ATIVIDADE 2 – Classificando alavancas do corpo humano

(Acafe, 2016/2-Adaptada) Basicamente, uma alavanca é uma barra que pode girar em torno de um ponto de apoio, chamado de polo. No nosso corpo existem muitas alavancas, já que existem muitas partes articuláveis.
Nas figuras a seguir, vemos o movimento de três tipos alavancas diferentes: no pé; no braço/antebraço e na cabeça.

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Imagens adaptadas do site Mammoth Memory .(Acesso em 22/02/2024.)

Forneça a classificação das três alavancas conforme a posição do ponto de apoio em relação às forças aplicadas (interfixa, inter-resistente ou interpotente).

Vocês podem conferir os resultados obtidos nessas duas primeiras Atividades, acompanhando com atenção a discussão a seguir.
Já tínhamos observado que as alavancas do corpo humano são formadas pelos nossos ossos e que nossos músculos agem como as forças potentes. Vamos descrever algumas delas.

➤ A contração do músculo bíceps define uma alavanca interpotente no nosso antebraço. A força resistente é produzida pela mão erguida sustentando ou não um possível objeto; a força potente é exercida pelo bíceps e o cotovelo é o ponto de apoio.
Na imagem vemos uma ilustração da alavanca propriamente dita e as respectivas projeções do ponto fixo e dos pontos de apoio das forças potente e de resistência sobre uma reta, para melhor entendermos a caracterização da alavanca em questão como interpotente.

Imagem adaptada do site Depositphotos. (Acesso em 22/02/2024.)

➤ A contração do músculo tríceps, por sua vez, define uma alavanca interfixa no nosso antebraço quando, por exemplo, estendemos o antebraço puxando uma corda presa a uma polia. Ao fazermos o movimento para baixo, força resistente é produzida pela corda, que puxa o braço para cima; a força potente é exercida pelo tríceps e o cotovelo é novamente o ponto de apoio.
Na imagem vemos uma ilustração da alavanca descrita e as respectivas projeções do ponto fixo e dos pontos de apoio das forças potente e de resistência sobre uma reta; observe que, de fato, temos uma alavanca interfixa.


Imagem adaptada do site Depositphotos. (Acesso em 22/02/2024.)

➤ Ao ficarmos na ponta dos nossos pés, cada pé é transformado em uma alavanca inter-resistente do nosso corpo. Quando erguemos o corpo, parte do nosso peso, sustentado por cada pé, é a força resistente; a ponta de cada pé (os ossos metatarsos) é o ponto fixo e a potência fica por conta das respectivas panturrilhas.
Na imagem abaixo vemos uma ilustração da alavanca descrita e as respectivas projeções do ponto fixo e dos pontos de apoio das forças potente e de resistência sobre uma reta.

Imagem adaptada do documento Movement Analysis. (Acesso em 22/02/2024.)

➤ A cabeça é uma alavanca interfixa. Aqui, a força resistente é o peso da cabeça; a força potente é exercida pelos músculos do pescoço e o ponto fixo é definido pela articulação da cabeça com a coluna vertebral.
Vemos, a seguir, uma imagem da alavanca em questão e, mais uma vez, as respectivas projeções do ponto fixo e dos pontos de apoio das forças potente e de resistência sobre uma reta.

Imagem adaptada do site Os Fundamentos da Física. (Acesso em 22/02/2024.)

Se você se atrapalhou um pouco com as alavancas do bíceps e do tríceps, clique no botão a seguir e assista um vídeo que pode lhe ajudar!

Tudo muito legal, não é?
Mas, até agora, não vimos muita matemática propriamente dita.

Acalme-se; já, já ela vai aparecer…
Então, que tal exercitar um pouco, antes de encontrá-la?

O vídeo abaixo apresenta uma revisão de tudo o que aprendemos nesta Sala. Recomendamos que você o assista para esclarecer alguma possível dúvida dos conceitos ou exemplos.
Com certeza você vai gostar; é só clicar na setinha!

Finalmente chegou a hora da Matemática…
E a Matemática das alavancas vai nos dar condições para solucionarmos, por exemplo, a atividade abaixo.

Então, vamos lá?
É só clicar no botão abaixo e ir para a Sala 2.

B O N S    E S T U D O S ! ! !

Se necessário, na Sala 2 você encontrará um link para voltar para esta Sala, na parte inferior à direita da página.

Equipe COM – OBMEP