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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um baralho comum ([tex]52[/tex] cartas com [tex]13[/tex] de cada naipe) foi embaralhado e em seguida uma pessoa irá revelar cada uma das cartas, uma a uma.
Qual é a posição mais provável para aparecer o quarto e último ás? Calcule essa probabilidade.
Solução
Veja, por exemplo, que uma vez que temos [tex]4[/tex] ases seria impossível que o quarto ás aparecesse na primeira carta revelada, na segunda ou na terceira. Intuitivamente podemos pensar que o quarto ás deve vir mais para o final. Se aparecer um ás na posição de número [tex]52[/tex], ele certamente será o último.
Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de ser revelado um ás na posição [tex]n[/tex] independentemente de ser o último ou não. Para isso, vamos usar a definição clássica de probabilidade:
Os possíveis são todas as permutações das cartas do baralho, ou seja, [tex]P_{52}[/tex], e o número de casos favoráveis pode ser calculado por [tex]4\cdot P_{51}[/tex], pois temos [tex]4[/tex] formas de escolher o ás e [tex]P_{51}[/tex] para ordenar o restante do baralho.
Logo, a probabilidade de termos um ás na posição [tex]n[/tex] é [tex]\boxed{p=\dfrac{4\cdot P_{51}}{P_{52}}}.[/tex]
Agora, observe que:
- Quando [tex]n=52[/tex], o ás nesta posição será sempre o último. Assim, a probabilidade de a última carta ser o quarto ás é exatamente
[tex]\qquad p=\dfrac{4\cdot P_{51}}{P_{52}}.[/tex] - Quando [tex]n\lt 52[/tex], muitas das permutações que possuem o ás na posição [tex]n[/tex] terão ases após esta posição. Assim, o número [tex]f[/tex] de casos nos quais o quarto ás está nesta posição será menor do que [tex]4\cdot P_{51}[/tex], ou seja, [tex]f \lt 4\cdot P_{51}.[/tex]
Dessa forma, a probabilidade de a carta da posição [tex]n\lt 52[/tex] ser o quarto ás é
[tex]\qquad \dfrac{\mathrm{número \ de \ casos \ favoráveis}}{\mathrm{número \ de \ casos \ possíveis}}=\dfrac{f}{P_{52}}\lt \dfrac{4 \cdot P_{51}}{P_{52}}.[/tex]
Portanto, a posição mais provável para aparecer o quarto e último ás é a de número [tex]52[/tex].
Além disso, essa probabilidade pode ser assim calculada:
[tex]\qquad p=\dfrac{4\cdot P_{51}}{P_{52}}=\dfrac{4 \cdot 51!}{52!}=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\approx 0,07692[/tex]
ou seja, aproximadamente [tex] 7,7\%.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.