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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Ana, Beatriz, Carlos, Daniel e Eduarda moram no mesmo condomínio e cada um deles possui uma vaga de estacionamento referente ao respectivo número do apartamento. Certo dia, ao retornarem do trabalho, os quatro resolveram estacionar seus carros nas vagas de forma aleatória, ou seja, não obrigatoriamente na vaga de seu apartamento. De quantos modos possíveis eles poderiam ter estacionado seus carros sabendo que apenas uma das pessoas ocupou a vaga correta?
Solução
Suponha que a vaga de Ana seja a primeira, de Beatriz a segunda e assim por diante, até que a de Eduarda seja a quinta. Assim, supondo, sem perda de generalidade, que Ana tenha sido a única que estacionou o carro em sua própria vaga e fazendo referência ao carro de cada condômino pela respectiva inicial do nome, temos as seguintes possibilidades de estacionamentos:
\hline
\text{Primeira} & \text{Segunda} & \text{Terceira} & \text{Quarta} & \text{Quinta} \\
\hline
\text{A} & \text{C} & \text{B} & \text{E} & \text{D} \\
\hline
\text{A} & \text{C} & \text{D} & \text{E} & \text{B} \\
\hline
\text{A} & \text{C} & \text{E} & \text{B} & \text{D} \\
\hline
\text{A} & \text{D} & \text{B} & \text{E} & \text{C} \\
\hline
\text{A} & \text{D} & \text{E} & \text{B} & \text{C} \\
\hline
\text{A} & \text{D} & \text{E} & \text{C} & \text{B} \\
\hline
\text{A} & \text{E} & \text{B} & \text{C} & \text{D} \\
\hline
\text{A} & \text{E} & \text{D} & \text{B} & \text{C} \\
\hline
\text{A} & \text{E} & \text{D} & \text{C} & \text{B} \\
\hline
\end{array}[/tex]
Assim, existem nove maneiras de as pessoas terem estacionado os carros. Como qualquer um dos cinco condôminos pode ter sido aquele que colocou o carro na vaga correta, o total de modos possíveis de eles terem estacionado os carros é [tex]5\times 9 = 45[/tex].
Uma outra maneira de resolver o problema é por meio do cálculo de permutação caótica. Observe que, fixada a pessoa que colocou o carro na vaga correta, o total de modos de os demais terem estacionado seus carros é igual ao total de desordens de [tex]4[/tex] elementos. Assim, utilizando a fórmula de permutações caóticas, temos que o total de modos de as [tex]4[/tex] pessoas terem estacionado o carro nas vagas erradas é dado por
[tex]\qquad D_{4}=4! \cdot \left[\dfrac{1}{0!} – \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} – \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!}\right]\\
\qquad D_{4}= 4! \cdot \left[1 – 1+ \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24}\right]\\
\qquad D_{4} = 24 \cdot \dfrac{9}{24} = 9.[/tex]
Logo, são [tex]\boxed{5\times 9 = 45}[/tex] modos possíveis de estacionamentos nas condições em questão.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.