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Problema
Se aumentássemos [tex]5\text{ cm}[/tex] no comprimento e [tex]5\text{ cm}[/tex] na largura de um retângulo R, a sua área aumentaria de [tex]155\text{ cm}^2.[/tex]
Qual o perímetro desse retângulo R, em centímetros?
(Adaptado da III ONEM.)
Solução
Vamos denotar por [tex]a~[/tex] e [tex]~b[/tex] a altura e a base, respectivamente, do retângulo R.
A figura a seguir mostra o retângulo inicial e, depois, com as dimensões aumentadas; representamos a área de R por [tex]A.[/tex]
Observando as duas imagens, concluímos, de imediato, que [tex]\boxed{A=a\cdot b}~[/tex] e [tex]~\boxed{A+155=(a+5)\cdot (b+5)}.[/tex]
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad A+155=(a+5)\cdot (b+5)\\
\qquad a\cdot b+155=(a+5)\cdot (b+5)\\
\qquad a\cdot b+155= a\cdot b+5\cdot a+5\cdot b+25\\
\qquad \cancel{a\cdot b}+155= \cancel{a\cdot b}+5\cdot a+5\cdot b+25\\
\qquad 155= 5\cdot a+5\cdot b+25\\
\qquad 130= 5\cdot (a+b)\\
\qquad a+b=26.\\
[/tex]
Como o perímetro [tex]P[/tex] do retângulo inicial R é [tex]P=2\cdot a+2\cdot b[/tex], segue que:
[tex]\qquad P=2\cdot (a+b)\\
\qquad P=2\cdot 26=52.\\[/tex]
Portanto, o perímetro do retângulo R é [tex] \fcolorbox{black}{#FFE3AA}{$52 \text{ cm}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Nível A – Questão Mediana