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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Um novo torneio será montado por alguns clubes do futebol brasileiro e oito equipes ([tex]3[/tex] de São Paulo, [tex]2[/tex] do Rio de Janeiro, [tex]1[/tex] de Minas Gerais, [tex]1[/tex] do Rio Grande do Sul e [tex]1[/tex] de Pernambuco) participarão dessa nova competição.
As quatro partidas iniciais serão definidas por sorteio. Com os times vencedores, haverá um novo sorteio para decidir as duas partidas da próxima fase. As duas equipes vencedoras dessa última fase disputarão a decisão.
Sabendo que todas as equipes possuem a mesma probabilidade de ganhar qualquer partida, calcule a probabilidade de a decisão ser disputada por equipes do mesmo estado.
(Adaptado da OBM.)
Ajuda
✏ A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
| Probabilidade[tex]\;\;[/tex] = | número de casos favoráveis | . |
| número de casos possíveis |
✏ Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\,0 \lt r\leqslant n[/tex].
Solução
- Quaisquer dois times podem chegar à decisão do campeonato. Assim, temos um total de [tex]C_{8}^{2}=28[/tex] possíveis decisões.
- Note que há apenas [tex]4[/tex] dessas decisões que são entre os times do mesmo estado (a decisão entre os times do Rio de Janeiro e três entre os times de São Paulo).
Como todas as equipes possuem a mesma probabilidade de ganhar qualquer partida e os confrontos são todos definidos por sorteio, podemos concluir que todo experimento é equiprovável. Logo, podemos calcular a probabilidade como sendo a razão entre os casos possíveis sobre os casos favoráveis:
[tex]\qquad P=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}\approx 0,14.[/tex]
Portanto, a probabilidade de a decisão ser disputada por equipes do mesmo estado é de, aproximadamente, [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 14\%$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.