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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Adaptado – UECE, 2020) Encontre o termo independente de [tex]x[/tex] no desenvolvimento binomial de [tex]\left(x\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)^{13}[/tex].
Lembrete
O termo geral no desenvolvimento do binômio de Newton [tex](a+b)^m[/tex], com [tex]m[/tex] inteiro positivo, é dado por [tex]T_{n+1} = \binom{m}{n}\cdot a^{m-n}\cdot b^n,[/tex] onde [tex]n=0,\cdots, m.[/tex]
Solução
Pelo Lembrete, o termo geral no desenvolvimento do binômio é dado por
[tex]\qquad \begin{align}T_{n+1} &= \binom{13}{n}\cdot (x\sqrt[3]{x})^{13-n}\cdot \left(\dfrac{1}{x^3}\right)^n\\
&=\binom{13}{n}(x\cdot x^{1/3})^{13-n}\cdot (x^{-3})^n\\
&=\binom{13}{n}(x^{4/3})^{13-n}\cdot x^{-3n}\\
&=\binom{13}{n}x^{4(13-n)/3}\cdot x^{-3n}\\
&=\binom{13}{n}x^{4(13-n)/3-3n}.
\end{align}\\
[/tex]
Assim, para que [tex]T_{n+1}[/tex] seja o termo independente, devemos ter [tex]x^{4(13-n)/3-3n} [/tex]constante.
A única maneira de isso ocorrer é se
[tex]\qquad \dfrac{4(13-n)}{3}-3n=0[/tex]
e, com isso,
[tex]\qquad 4(13-n)-9n=0[/tex],
[tex]\qquad 13n=52[/tex],
[tex]\qquad n=4.[/tex]
Nesse caso, segue que:
[tex]\qquad x^{4(13-n)/3-3n}=x^0=1[/tex]
e, portanto, o termo independente é
[tex]\qquad \begin{align}T_5 = \binom{13}{4}=\dfrac{13!}{4!9!}=\boxed{715}\end{align}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: Geomestres Slay ; Puzzlers πrados e Obmépicos.