.Problema: Padrão Triangular e Quadrangular

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

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(OBMEP 2013 – Nível 2) No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número $3$ em um triângulo e o número $2$ em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses números.

Qual é o número escrito no triângulo no 56º estágio?

Solução

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A tabela abaixo apresenta alguns estágios do jogo. Observe que na coluna dos triângulos fatoramos os números que aparecem nos respectivos triângulos de cada estágio.

O padrão da coluna dos triângulos é evidente: no estágio $2k$, o valor que aparece é $5 \times 2^{k-1}$.
Logo, como $\dfrac{56}{2}=28$, o número que aparece no 56º triângulo é $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$5 \times 2^{27}$}\,$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .