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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Tati sempre tem alguns pares de meia em sua gaveta. Mas, como ela é um pouco desorganizada, acaba perdendo alguns pés de suas meias de vez em quando.
(a) No início deste mês, ela tinha dois pares diferentes de meia; mas, um dia desses, percebeu que perdera dois pés dessas meias. Sabendo que não há diferença entre pé direito e pé esquerdo de um mesmo par, qual é a probabilidade de Tati não possuir nenhum par completo de meias para calçar nesse dia?
(b) Após uma faxina pela casa, Tati recuperou os dois pés de meia perdidos e, precavida, comprou outros dois pares, ficando com quatro pares completos e diferentes. Porém, ontem percebeu que perdera, dessa vez, quatro pés de meia! Agora, qual é a probabilidade de Tati não possuir nenhum par completo para calçar, sabendo que não há diferença entre pé direito e pé esquerdo de um mesmo par de meias?
Observações
✏ A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
[tex]\qquad \qquad \text{probabilidade}=\dfrac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}}.[/tex]
Mas, para isso, devemos ter a certeza de que o espaço amostral considerado na solução é equiprovável: todas as possibilidades devem possuir a mesma probabilidade de ocorrer.
As contagens de número de casos favoráveis e casos possíveis podem ser feitas de diversas formas. Se considerarmos que a ordem na qual Tati perdeu as meias não importa, podemos utilizar Combinações Simples.
Já ao considerar que a ordem na qual as meias são perdidas importa, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem, e é isso que faremos aqui.
Solução
Nos dois itens, utilizaremos o Princípio Fundamental da Contagem tanto para calcular a quantidade de casos favoráveis quanto a de casos possíveis.
(a) As duas meias podem ter sido perdidas de [tex]4 \times 3=12[/tex] maneiras. Observe que Tati só possuirá um par completo para calçar se perdeu as duas meias do outro par. Para que isso ocorra, o segundo pé perdido deve ser o par do primeiro, ou seja, há apenas [tex]4\times 1=4[/tex] possibilidades.
Logo, a probabilidade de Tati não possuir nenhum par completo para calçar é de [tex]\dfrac{12-4}{12}=\dfrac{2}{3}[/tex]; aproximadamente, [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$67\%$}\,.[/tex]
Outra forma de pensar é a de que Tati não possuirá nenhum par se perder exatamente um pé de cada par, o que pode ocorrer de [tex]4\times 2 =8[/tex] maneiras. Assim, como vimos, a probabilidade de Tati não possuir nenhum par completo para calçar é de [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{8}{12}\approx 67\%$}\,.[/tex]
(b) Há oito pés de meia no total, então os quatro pés podem ser perdidos de [tex]8 \times 7\times 6\times 5=1680[/tex] maneiras. Tati não possuirá nenhum par se perder exatamente um pé de cada par, o que pode ocorrer de [tex]8\times 6\times 4\times 2 = 384[/tex] maneiras. Assim, a probabilidade de Tati não possuir nenhum par completo para calçar é de [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{ 384}{1680}\approx 23\%$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.