✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir do 2ª série do E. M.)
Um pipoqueiro cobra o valor de [tex]R\$\;1,00[/tex] por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de [tex]R\$\; 1,00[/tex] e quatro uma nota de [tex]R\$\;2,00[/tex].
Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, calcule a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de [tex]R\$\;2,00[/tex].
Extraído de IME.
Solução
Vamos representar por [tex]U[/tex] as pessoas com moedas de [tex]R\$\;1,00[/tex] e por [tex]D[/tex] as pessoas com notas de [tex]R\$\;2,00.[/tex]
O número de filas que essas oito pessoas podem organizar, levando em consideração apenas o tipo de pagamento, é dado pela permutação com repetição [tex]P_{8}^{4,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot4!}=70[/tex]. Esses são os casos possíveis.
Para que sempre haja troco, a cada momento a quantidade de pessoas que pagam [tex]R\$\;2,00[/tex] nunca pode ser maior que a quantidade de pessoas que pagaram [tex]R\$\;1,00[/tex], porque para cada pessoa que o pipoqueiro der um troco ele deverá ter recebido a moeda do troco de antemão. Por esse motivo, a primeira pessoa da fila deve estar com uma moeda de [tex]R$\;1,00[/tex] e a última com nota de [tex]R$\;2,00[/tex].
Assim, diminuímos nosso problema! Agora, basta contar quantas filas há com as seis pessoas restantes e tomar cuidado com a restrição inicial do problema.
Para isso, vamos analisar dois casos.
- 1º) Se a segunda pessoa estiver com uma nota de [tex]R\$\;2,00[/tex], obrigatoriamente a terceira deve ser uma pessoa com a moeda de [tex]R\$\;1,00[/tex].
Há portanto, [tex]P_{4}^{2,2}=\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6[/tex] modos de organizar as outras quatro pessoas na fila (duas com moedas e duas com notas).
De todas essas seis opções, apenas uma (a da próxima imagem) não satisfaz a restrição.
Logo, nesse 1º caso há [tex]5[/tex] casos possíveis.
Você pode visualizar as seis opções de organização das quatro pessoas no esqueminha apresentado a seguir.
[D U] U U D D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[D U] U D U D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[D U] U D D U [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[D U] D U U D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[D U] D U D U [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[D U] D D U U [tex]\rightarrow[/tex] Não serve
- 2º) Suponhamos que a segunda pessoa esteja com uma moeda de [tex]R\$\;1,00[/tex].
Então, há [tex]P_{5}^{2,3}=\dfrac{5!}{2!\cdot3!}=10[/tex] modos de organizar as outras cinco pessoas na fila (duas com moedas e três com notas).
De todas essas dez maneiras, apenas uma (a da próxima imagem) não satisfaz a restrição.
Assim, nesse 2º caso há [tex]9[/tex] casos possíveis.
Você também pode visualizar as dez opções de organização das cinco pessoas no esqueminha apresentado a seguir.
[U] U U D D D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] U D U D D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] U D D U D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] U D D D U [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D U U D D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D U D U D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D U D D U [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D D U U D [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D D U D U [tex]\rightarrow[/tex] Serve
[U] D D D U U [tex]\rightarrow[/tex] Não serve
A partir desses dois casos, mutuamente excludentes, o Princípio Aditivo garante que há [tex]9+5=14[/tex] casos favoráveis.
Portanto, a probabilidade desejada é:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$Probabilidade=\dfrac{14}{70}=\dfrac{1}{5}=20\%$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.