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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(FGV, 2020 – Adaptado) Para comemorar seu aniversário, Bruno decidiu dar uma grande festa para toda a sua família e amigos. Para isto, ele precisa alugar um salão de festas. A seguir, apresentamos os preços de dois salões de festas:
- Salão A: [tex]R$ \;1000,00[/tex] mais [tex]R$ \;5,00[/tex] por pessoa.
- Salão B: [tex]R$ \;200,00[/tex] mais [tex]R$ \;10,00[/tex] por pessoa.
A capacidade máxima de ambos os salões é de [tex]300[/tex] pessoas, mas Bruno não sabe ainda a quantidade de pessoas que irão à festa.
a) Para qual número de pessoas o valor cobrado por ambos os salões é o mesmo?
b) Represente graficamente em um mesmo par de eixos cada uma das duas funções que expressa o preço de cada salão em função do número de pessoas que irão à festa. Qual salão deve ser escolhido caso o número de pessoas presentes na festa seja maior do que o número obtido no item a?
Solução
a) Seja [tex]n[/tex] o número de pessoas que irão à festa. Sendo [tex]S_A[/tex] e [tex]S_B[/tex] os valores cobrados em reais pelos salões [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], respectivamente, temos:
[tex]\qquad S_A = 1000+5n,[/tex]
[tex]\qquad S_B = 200+10n.[/tex]
Como queremos saber para qual número [tex]n[/tex] os valores [tex]S_A[/tex] e [tex]S_B[/tex] são iguais, devemos ter [tex]S_A = S_B[/tex]; assim, segue que:
[tex]\qquad 1000+5n = 200+10n\\
\qquad 5n = 800\\
\qquad n = 160.[/tex]
Logo, para [tex]160[/tex] pessoas o valor cobrado em ambos os salões será o mesmo.
b) Para [tex]300[/tex] pessoas, os valores cobrados são:
[tex]\qquad S_A = 1000+300\cdot 5 = R$ \;2500,00,[/tex]
[tex]\qquad S_B = 200+300\cdot 10 = R$ \;3200,00.[/tex]
Portanto, temos os gráficos abaixo, nos quais o número possível de pessoas que irão à festa está representado no eixo horizontal e os possíveis valores cobrados para o aluguel dos salões estão representados no eixo vertical.
Observando o gráfico, podemos perceber que no caso de o número de pessoas presentes na festa ser maior que [tex]160[/tex], deve-se escolher o salão [tex]A.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.