✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
A linha curva indicada na figura tem extremidades em [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] e é formada apenas por semicircunferências.
Se o comprimento do segmento que liga [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] é igual a [tex]x[/tex], qual o comprimento da linha curva representada na figura?
Lembrete
O comprimento de uma semicircunferência de raio [tex]r[/tex] corresponde a [tex]\pi \cdot r[/tex].
Solução
Considere que a curva é formada por oito semicircunferências de raios [tex]a, b, c, d, e, f, g, h[/tex].
Observe a figura abaixo.
Desta forma, o comprimento [tex]C[/tex] da linha curva será:
[tex]\qquad C=\pi \cdot a + \pi \cdot b + \pi \cdot c + \pi \cdot d + \pi \cdot e + \pi \cdot f + \pi \cdot g + \pi \cdot h\\
\qquad C=\pi \cdot (a+b+c+d+e+f+g+h).\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, observe que [tex]x[/tex] é a soma dos diâmetros das semicircunferências; logo,
[tex]\qquad 2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h=x[/tex],
donde
[tex]\qquad a+b+c+d+e+f+g+h=\dfrac{x}{2}[/tex].
Portanto, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=\dfrac{\pi \cdot x}{2}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Puzzlers [tex]\pi[/tex]rados.