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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Ache a soma das raízes positivas da equação [tex]4^{x^2}-5\cdot 2^{x^2}+4=0.[/tex]
Extraído de ITA.
Solução
Vamos começar observando que [tex]4^{x^2}=2^{2x^2}=\left(2^{x^2}\right)^2.[/tex]
Assim, substituindo [tex]\boxed{2^{x^2}=y}[/tex] na equação dada, segue que:
[tex]\qquad \left(2^{x^2}\right)^2-5\cdot 2^{x^2}+4=0\\
\qquad y^2-5y+4=0.[/tex]
Resolvendo a equação do segundo grau resultante, obtemos:
[tex]\qquad y=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{2}[/tex],
ou seja, [tex] y=1\,[/tex] ou [tex]\, y=4[/tex].
Como [tex]\boxed{2^{x^2}=y}[/tex], temos que:
| [tex]\qquad \boxed{2^{x^2}=1}\qquad~~ [/tex] ou | [tex]\qquad \boxed{2^{x^2}=4}[/tex] |
|
[tex]\qquad 2^{x^2}=2^0[/tex] [tex]\qquad x^2=0[/tex] [tex]\qquad x=0.[/tex] |
[tex]\qquad2^{x^2}=2^2[/tex] [tex]\qquad x^2=2[/tex] [tex]\qquad x=\pm \sqrt{2}.[/tex] |
Como só há uma raiz positiva, a soma pedida é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{2\,}$}\,.[/tex]
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