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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Para resolver a equação [tex]36x^2 -12x +1 = 6x -1[/tex], Laila, uma aprendiz do matemático Beremiz, reescreveu esta equação como [tex](6x -1)^2 = 6x -1[/tex]. Daí, obteve [tex] 6x -1 = 1[/tex], de onde concluiu que a solução da equação original é [tex]x = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}[/tex].
Beremiz a alertou para um erro de raciocínio e, então, Laila resolveu corretamente a equação.
Qual foi o erro e qual a solução correta?
Adaptado de ORM Grande PoA – Minicurso de Álgebra Olímpica I.
Solução
- O erro está na passagem de [tex]~(6x-1)^2 = 6x-1~[/tex] para [tex]~6x -1 = 1[/tex].
Com efeito, a equação [tex]\boxed{(6x -1)^2 = 6x -1}[/tex] indica que [tex]6x -1[/tex] é um número igual ao seu próprio quadrado; assim, [tex]6x -1[/tex] é [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex]. Mas, em vez de pensar desta forma, Laila dividiu ambos os lados da equação por [tex] 6x -1[/tex]. Porém, ela só pode fazer essa divisão se [tex] 6x -1\neq 0[/tex].
Assim, se a divisão for feita, então o caso [tex] 6x -1= 0[/tex] deve ser analisado separadamente. E fazendo a análise, observamos que, de fato, este caso fornece uma segunda raiz para a equação: [tex]x_2=\dfrac{1}{6}.[/tex]
Se você preferir, podemos conferir que essas são as duas raízes da equação proposta escrevendo a mesma na forma canônica de uma equação quadrática, o que é possível subtraindo [tex]6x-1[/tex] de ambos os lados dessa equação. Observe:
[tex]\qquad 36x^2 -12x +1 = 6x -1[/tex]
[tex]\qquad 36x^2 -12x +1-(6x -1)=0[/tex]
[tex]\qquad 36x^2 -18x +2=0[/tex] (simplificando por [tex]2[/tex])
[tex]\qquad 18x^2-9x+1=0[/tex].
O discriminante dessa última equação é dado por
[tex]\qquad \Delta=(-9)^2-4\cdot 18\cdot 1=81-72=9[/tex];
logo, suas raízes são dadas por
[tex]\qquad x_1=\dfrac{-(-9)+\sqrt{9}}{2\cdot 18}=\dfrac{9+3}{36}=\dfrac{12}{36}=\boxed{\dfrac{1}{3}}[/tex]
e
[tex]\qquad x_2=\dfrac{-(-9)-\sqrt{9}}{2\cdot 18}=\dfrac{9-3}{36}=\dfrac{6}{36}=\boxed{\dfrac{1}{6}},[/tex]
como afirmado anteriormente.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.