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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Ruas retas e compridas ligam as casas dos amigos Bruno, Francimar e Robério.
- Francimar, em sua caminhada matinal, saiu de sua casa e andou até a casa de Bruno. Em seguida, prosseguiu para a casa de Robério e depois voltou para sua casa.
- Mais tarde, Robério, muito concentrado com um problema de matemática, foi até a casa de Bruno e voltou para sua casa.
Sem conhecer as distâncias entre as casas, é possível saber quem andou mais?
Adaptado de Um Círculo Matemático de Moscou: Problemas semana-a-semana; Sergey Dorichenko.
Notação e Lembrete
✏ Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]\overline{XY}[/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[/tex].
✏ Desigualdade triangular: Em um triângulo, cada lado tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Assim, em um triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados [tex]\overline{AB}~[/tex], [tex]\overline{BC}~[/tex] e [tex]\overline{CA}~[/tex] medem [tex]c~[/tex], [tex]a~[/tex] e [tex]b~[/tex], respectivamente, temos:
- [tex]\boxed{a \lt b+c}~[/tex], [tex]~\boxed{b \lt a+c}~[/tex] e [tex]~\boxed{c \lt a+b}.[/tex]
Solução
O problema pode ser modelado por um triângulo de vértices [tex]B,\,F[/tex] e [tex]R[/tex], no qual as arestas são as ruas e os vértices são as casas de Bruno, Francimar e Robério, respectivamente.
Assim, podemos afirmar que Francimar percorreu um trajeto de comprimento [tex]FB+BR+RF[/tex], enquanto Robério fez um trajeto de comprimento [tex]2BR[/tex].
Pela desigualdade triangular,
[tex]\qquad BR\lt FB+RF[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad 2BR \lt FB+BR+RF[/tex].
Portanto, Francimar andou mais.
Existe uma possibilidade, porém, na qual ambos andariam a mesma distância: isso poderia ocorrer se as três casas definissem um triângulo “degenerado”, ou seja, se todos os amigos morassem na mesma rua, e também a casa de Francimar ficasse entre as outras casas.
De toda forma, pode-se garantir que Francimar andou pelo menos tanto quanto Robério, e possivelmente mais.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.