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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
A soma de dois números naturais não nulos é [tex]373[/tex] e, ao dividir o maior pelo menor, o quociente é [tex]13[/tex] e o resto [tex]23.[/tex]
Qual a diferença positiva entre esses dois números?
Solução
Sejam [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] números naturais não nulos, com [tex]a \gt b[/tex], que satisfazem as hipóteses do problema. Assim, temos que:
- [tex]\boxed{a=13b+23} \, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], uma vez que
[tex]\qquad \begin{array}{r}
\, a \, \, \end{array} \begin{array}{|r}
\, b \, \, \\ \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\qquad\begin{array}{c}
23
\end{array}\begin{array}{r}
\, \, 13
\end{array}[/tex]
- [tex]\boxed{a+b=373}. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]\qquad (13b+23)+b=373\\
\qquad 13b+b=373-23\\
\qquad 14b=350\\
\qquad b=\dfrac{350}{14}\\
\qquad \boxed{b=25} \, .[/tex]
Substituindo, agora, [tex]b=25[/tex] em [tex] \, \textcolor{#800000}{(i)}[/tex], temos que:
[tex]\qquad a=13b+23\\
\qquad a=13\times 25 +23\\
\qquad \boxed{a=348}.[/tex]
Assim, a diferença positiva entre os dois números é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$348-25=323$} \, .[/tex]
Vamos conferir a nossa resposta?
[tex]\begin{array}{c}
348 \, \, \end{array} \begin{array}{|c}
\, \, 25 \, \, \, \, \\ \hline
\end{array}\qquad[/tex]e [tex]\qquad 348+25=373.[/tex]
[tex]\begin{array}{c}
\hspace1ex 98
\end{array}\begin{array}{c}
\, \, \, \, 13
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{c}
\hspace2ex 23 \\
\end{array}[/tex]
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