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Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Difícil)
Qual é o resto da divisão do produto
[tex]\qquad \, 7489015161 \times 289658248 \times 5211457[/tex]
por [tex]12[/tex]?
Solução
- Observe que [tex] 7+4+8+9+0+1+5+1+6+1=42[/tex] e [tex]42[/tex] é um número múltiplo de [tex]3[/tex].
Assim, [tex]7489015161[/tex] é divisível por [tex]3[/tex]; logo, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]\boxed{7489015161=3k}. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] - Por outro lado, [tex]48[/tex] é um número múltiplo de [tex]4[/tex]; com isso, [tex]289658248 [/tex] é divisível por [tex]4[/tex] e, igualmente, existe um número natural [tex]t[/tex] tal que [tex]\boxed{289658248 =4t}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], temos que
[tex]\quad \, 7489015161 \times 289658248 \times 5211457=(3k) \times (4t) \times 5211457[/tex].
Se fizermos [tex]k \times t \times 5211457=m[/tex], teremos que:
[tex]\quad \boxed{7489015161 \times 289658248 \times 5211457}=(3\times 4) \times (k \times t \times 5211457)=\boxed{12m} \, ,[/tex]
e, portanto, [tex]7489015161 \times 289658248 \times 5211457[/tex] é um múltiplo de [tex]12[/tex], já que [tex]m \in \mathbb{N}[/tex].
Assim,
| [tex]7489015161 \times 289658248 \times 5211457\quad [/tex] | [tex]\quad 12\quad [/tex] | |
| [tex]0[/tex] | [tex]m[/tex] |
e, então, podemos concluir que o resto da divisão do produto [tex]7489015161 \times 289658248 \times 5211457[/tex] por [tex]12[/tex] é zero.
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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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