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Problema
(A partir do 7º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Antes de uma batalha, dois exércitos juntos somavam [tex]120.000[/tex] soldados.
Depois da batalha observou-se um fato interessante: um exército teve [tex]875[/tex] baixas, o outro teve [tex]1.477[/tex] baixas e ambos os exércitos ficaram com a mesma quantidade de soldados.
Quantos soldados tinha antes da batalha o exército que sofreu mais baixas?
Solução
[tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex] Sejam [tex] \, A \, [/tex] e [tex] \, B \, [/tex] a quantidade de soldados, antes da batalha, dos exércitos que tiveram [tex]875[/tex] e [tex]1.477[/tex] baixas, respectivamente. Assim, [tex]\boxed{A+B=120000} \qquad \textcolor{#800000}{(i)} \, .[/tex]
Como após a batalha os dois exércitos ficaram com a mesma quantidade de soldados, então [tex]\boxed{A-875=B-1477} \, [/tex], ou seja, [tex]\boxed{B-A=602}\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} \, .[/tex]
Por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}, \, [/tex] segue que:
[tex]\qquad 2B=120602[/tex]
[tex]\qquad B=60301.[/tex]
Assim, o exército que sofreu mais baixas tinha [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60.301$} \, [/tex] soldados antes da batalha.
[tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] Se você ainda não aprendeu a trabalhar com equações algébricas, acompanhe esta solução.
- Utilizaremos um retângulo inicial para indicarmos os [tex]120.000[/tex] soldados que os dois exércitos tinham antes da batalha.
- Lembrando que o número de soldados com que os dois exércitos terminaram a batalha foi o mesmo, representaremos esse número por um quadradinho colorido. Assim, antes da batalha, os dois exércitos tinham, respectivamente, “quadradinho mais [tex]875[/tex]” e “quadradinho mais [tex]1477[/tex]” soldados.
Com isso, utilizaremos o seguinte o esquema para resolução do problema:
- Vamos distribuir os [tex]120.000[/tex] entre os dois exércitos, mas observe que nesse total de soldados estão incluídas as [tex]875+1477=2352[/tex] baixas. Assim, para sabermos a quantidade de soldados que iremos distribuir pelos dois quadradinhos coloridos, de [tex]120.000[/tex] subtraímos as baixas, [tex]120000-2352=117648[/tex], e dividimos, então, [tex]117648[/tex] soldados entre dois quadradinhos, [tex]117648 \div 2=58824[/tex].
Essa é a quantidade de soldados correspondente a cada quadradinho.
Com a substituição dos [tex]58824[/tex] soldados em cada quadradinho, temos a solução do problema.
Portanto, o exército que sofreu mais baixas tinha [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60.301$} \, [/tex] soldados antes da batalha.
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