(A) Problema para ajudar na escola: Uma sequência compriiiiiiiiida…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Difícil)

[tex]\qquad \qquad \,2\,3\,4\,6\,6\,9\,9\,2\,1\,1\,5\,1\,3\,8\,1\,6\,1 \cdots[/tex]

Qual é o dígito que ocupará a posição [tex]1500[/tex] na sequência que escrevemos?

Solução

• Perceba que temos apenas quatro múltiplos de [tex]23[/tex] com dois dígitos:
  [tex]\qquad \boxed{23}= 23 \times 1 [/tex] ; [tex]\boxed{46}= 23 \times 2 [/tex] ; [tex]\boxed{69}= 23 \times 3 [/tex] ; [tex]\boxed{92}= 23 \times 4 [/tex] .
  Assim, ao escrevermos os quatro primeiros múltiplos de [tex]23[/tex], escreveremos os [tex]4 \times 2=8[/tex] primeiros termos da sequência.

• Prosseguindo, podemos observar que existem [tex]39[/tex] múltiplos de [tex]23[/tex] com três dígitos:
  [tex]\qquad \boxed{115}= 23 \times 5 [/tex] ; [tex]\boxed{138}= 23 \times 6[/tex] ; [tex]\boxed{161}= 23 \times 7 ; \cdots; \boxed{989}= 23 \times 43 [/tex] .
  Agora, ao escrevermos esses trinta e nove múltiplos de [tex]23[/tex], escreveremos os próximos [tex]39 \times 3=117[/tex] termos da sequência.

Com isso, de [tex]23[/tex] a [tex]989\, [/tex], teremos escrito [tex]8+117=125[/tex] termos da sequência:
[tex]\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}[/tex]
Até agora, escrevemos [tex]125[/tex] dos [tex]1500[/tex] termos; assim, precisamos de mais [tex]1500-125=1375[/tex] termos:
[tex]\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\,\underbrace{\boxed{\, }\boxed{\, }\boxed{\, }\cdots\boxed{\, }}_{1375\, termos}[/tex].
Quantos múltiplos de [tex]23[/tex] serão necessários para que seus algarismos preencham esses [tex]1375[/tex] espaços?
Vejamos…
Os próximos múltiplos de [tex]23[/tex] terão quatro algarismos, então vamos fazer a divisão de [tex]1375[/tex] por [tex]4[/tex]:

Assim, precisaremos de [tex]343[/tex] múltiplos de [tex]23[/tex] com quatro algarismos cada e ainda utilizaremos os três primeiros dígitos do próximo múltiplo:
[tex] \qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\, \underbrace{\boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\, \boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\, \boxed{\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\ldots\boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}}_{343 \text{ números com 4 algarismos}}\, \underline{\, }\underline{\, }\underline{\, }[/tex]
O nosso próximo passo será determinar quais são os múltiplos de [tex]23[/tex] de quatro algarismos que serão utilizados.
O último múltiplo de [tex]23[/tex] utilizado na sequência foi [tex]989,\, [/tex] e [tex]989= 23 \times 43[/tex]; então, os próximos serão:

• [tex]23 \times (43+1)= 23 \times 44=1012\, \, [/tex] ; [tex]\, \, 23 \times (43+2)= 23 \times 45=1035\, \, [/tex] e [tex]\, \, 23 \times (43+3)= 23 \times 46=1058[/tex]

e os últimos múltiplos que utilizaremos serão:

• [tex]23 \times (43+343)=23 \times 386=8878\, \, [/tex] e [tex]\, \, 23 \times (43+344)=23 \times 387=8901[/tex].

Observem o esqueminha:
[tex] \qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1012\, }\, }_{23 \times (43+1)}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1035\, }\, }_{23 \times (43+2)}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1058\, }\, }_{23 \times (43+3)}\cdots\underbrace{\, \boxed{\, 8878\, }\, }_{23 \times (43+343)}890[/tex]

Portanto, o dígito que ocupará a posição [tex]1500[/tex] na sequência que formamos será o [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.