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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Possivelmente, você deve ter lido nas redes sociais que o dia [tex]22[/tex] de fevereiro de [tex]2022[/tex] era uma data capicua. A palavra capicua é de origem catalã e significa cabeça e cauda.
- Um número é dito capicua quando a leitura dele da direita para a esquerda é igual à leitura da esquerda para a direita. Por isso, [tex]22/02/2022[/tex] é dita uma data capicua, já que o número [tex]22022022[/tex] é capicua.
Isso também ocorreu nas datas [tex]02/02/2020[/tex] e [tex]12/02/2021[/tex], mais recentemente.
Seguindo o calendário do Brasil, com [tex]8[/tex] algarismos e no formato DD/MM/AAAA, calcule quantas datas capicuas existem.
Observação: Algumas palavras possuem a leitura da direita para a esquerda igual à leitura da esquerda para a direita. Por exemplo: radar, reviver, salas e ovo. Essas palavras são ditas palíndromas. Por esse motivo, algumas vezes os números capicuas são chamados de números palíndromos.
Solução
Note que temos [tex]7[/tex] meses que possuem [tex]31[/tex] dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro), [tex]4[/tex] meses com [tex]30[/tex] dias (abril, junho, setembro e novembro) e apenas fevereiro com [tex]28[/tex] ou [tex]29[/tex] dias.
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Inicialmente, vamos calcular as datas capicuas dos meses com [tex]31[/tex] dias.
- Para fixar ideias, vamos trabalhar com o mês de janeiro.
As datas de janeiro são da forma [tex]DD/01/AAAA[/tex]; particularmente, as datas capicuas desse mês são da forma [tex]\boxed{DD/01/10AA}.[/tex]
Note que há [tex]31[/tex] modos de preencher os algarismos que compõem o dia das datas [tex](DD)[/tex].
Após essa escolha, por ser um número capicua, há apenas um modo para preencher os dois últimos algarismos do ano (basta fazer a simetria do número [tex]DD[/tex]).
Portanto, temos [tex]31[/tex] datas capicuas no mês de janeiro.
Como são [tex]7[/tex] meses com [tex]31[/tex] dias, temos [tex]7\times 31=217[/tex] datas capicuas.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Seguindo esse mesmo raciocínio para os meses de [tex]30[/tex] dias; vamos calcular as datas capicuas no mês de abril.
- As datas de abril são da forma [tex]DD/04/AAAA[/tex]. Por se tratar de um número capicua, reescrevemos essas datas como [tex]\boxed{DD/04/40AA}.[/tex]
Há [tex]30[/tex] modos de preencher os algarismos que compõem o dia das datas [tex](DD).[/tex] Após essa escolha, por ser uma data capicua, há apenas um modo para preencher os dois últimos algarismos do ano (basta também fazer a simetria do número [tex]DD[/tex]).
Portanto, temos [tex]30[/tex] datas capicuas no mês de abril.
Como há [tex]4[/tex] meses com [tex]30[/tex] dias, temos [tex]4\times 30=120[/tex] datas.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] Vamos seguir esse mesmo raciocínio para o mês de fevereiro.
- As datas relativas a fevereiro são da forma [tex]DD/02/AAAA[/tex] e, por se tratar de um número capicua, podemos reescrevê-la como [tex]\boxed{DD/02/20AA}.[/tex]
Como o ano [tex]2092[/tex] será um ano bissexto (isto é, temos [tex]29[/tex] dias em fevereiro), há [tex]29[/tex] modos de preencher os algarismos que compõem o dia das datas [tex](DD)[/tex].
Após essa escolha, por ser um número capicua, há apenas um modo para preencher os dois últimos algarismos do ano (basta fazer a simetria do número [tex]DD[/tex]).
Portanto, temos [tex]29[/tex] datas capicuas no mês de fevereiro.
Para ver essas [tex]29[/tex] datas, clique no botão abaixo
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], o número total de datas capicuas no formato DD/MM/AAAA é [tex]217+120+29=366.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.