Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(UK Junior Mathematical Olympiad 2015 – Adaptado) Seja [tex]N[/tex] o menor inteiro positivo cujos dígitos somam [tex]2023[/tex].
Qual é a soma dos dígitos de [tex]N+1[/tex]?
Solução
Para que um inteiro cujos dígitos têm soma definida seja o menor possível, a quantidade de seus algarismos deve ser a menor possível e o menor algarismo deve ser o primeiro à esquerda. Esse objetivo é alcançado quando colocamos algarismos [tex]9[/tex] o máximo possível, pois eles aumentam a soma dos dígitos com a menor quantidade de algarismos.
Por exemplo, observe que os números [tex]9,\,18,\,81,\,27,\,11133[/tex] etc. possuem os dígitos com a mesma soma: [tex]9[/tex]. Mas, [tex]9[/tex] é o menor destes números. Como um outro exemplo, [tex]19[/tex] é o menor inteiro positivo cuja soma dos dígitos é [tex]10=1+9[/tex].
Como [tex]2023=224\times 9+7[/tex], podemos compor [tex]N[/tex] com no máximo [tex]224[/tex] algarismos [tex]9[/tex]. O primeiro dígito de [tex]N[/tex] deverá ser o algarismo que completa a soma, isto é, o [tex]7[/tex].
Assim, [tex]N=7\underbrace{99\cdots99}_{224\text{ algarismos}}[/tex] e, portanto,
[tex]\quad N+1=7\underbrace{99\cdots99}_{224\text{ algarismos}}+1=(8\times10^{224}-1)+1=8\times 10^{224}=8\underbrace{00\cdots00}_{224\text{ algarismos}}.[/tex]
Pelo exposto, a soma dos algarismos de [tex]N+1[/tex] é dada por [tex]\boxed{8+224\times 0=8}.[/tex]
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