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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(Portal da Matemática – Adaptado) Sejam [tex]\boxed{a = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2}-\left(\frac{1}{6}\right)^{-2}}\,[/tex] e [tex]\, \boxed{b = \dfrac{2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-2^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}}[/tex].
Determine o valor de [tex]a^b[/tex].
Lembretes
(I) Se [tex]a[/tex] e [tex]x[/tex] são números reais positivos, então [tex]a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}[/tex].
(II) Se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais positivos, então [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}[/tex].
Solução
Inicialmente vamos encontrar o valor numérico de [tex]a[/tex]:
[tex]\qquad a = \left(\frac{1}{10}\right)^{-2}-\left(\frac{1}{6}\right)^{-2}[/tex]
[tex]\qquad a = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)^{2}}-\dfrac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)^{2}}[/tex]
[tex]\qquad a = \dfrac{1}{\frac{1}{100}}-\dfrac{1}{\frac{1}{36}}[/tex]
[tex]\qquad a = 100-36[/tex]
[tex]\qquad \boxed{a = 64}\;.[/tex]
O valor numérico de [tex]b[/tex] é dado por:
[tex]\qquad b = \dfrac{2\cdot \dfrac{1}{\frac{1}{3}}-2^2}{\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}[/tex]
[tex]\qquad b = \dfrac{2\cdot 3-2^2}{\dfrac{1}{\frac{1}{4}}}[/tex]
[tex]\qquad b = \dfrac{2\cdot 3-2^2}{4}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{b = \dfrac{1}{2}}\;.[/tex]
Logo,
[tex]\qquad a^b = 64^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\qquad a^b = \sqrt{64}[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a^b = 8$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.