.Probleminha: Percentual de meninas

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


No ano passado, uma turma tinha [tex]31[/tex] estudantes. Neste ano, o número de meninas aumentou em [tex]20\%[/tex] e o número de meninos diminuiu em [tex]25\%[/tex]. Como resultado, a turma deste ano tem um estudante a menos.
Qual o percentual de meninas na turma deste ano?

Extraído do PROFMAT – Exame Nacional de Acesso, 2018.

Solução


Chamemos de [tex]x[/tex] o número de meninas e de [tex]y[/tex] o número de meninos da turma do ano passado.

  • O número de meninas aumentou [tex]20\%[/tex], então neste ano a turma terá [tex]\boxed{1,2 \cdot x}[/tex] meninas.
  • Como o número de meninos diminuiu em [tex]25\%[/tex], neste ano a turma terá [tex]\boxed{0,75 \cdot y}[/tex] meninos.
  • Observe que o número de estudantes da turma deste ano é [tex]30[/tex], pois diminuiu uma unidade em relação ao ano anterior.

Desta forma, temos as seguintes equações
[tex]\qquad \begin{cases}
x+y=31\\
1,2 \cdot x+0,75 \cdot y=30\,.\\
\end{cases}[/tex]
Multiplicando a primeira equação por [tex]-0,75[/tex], obtemos:
[tex]\qquad \begin{cases}
-0,75 \cdot x – 0,75 \cdot y=-23,25\\
1,2 \cdot x+0,75 \cdot y=30\,.\\
\end{cases}[/tex]
Adicionando as duas equações, segue que:
[tex]\qquad 0,45 \cdot x = 6,75[/tex]
[tex]\qquad x = 15[/tex].
Assim, a quantidade de meninas deste ano é
[tex]\qquad 1,2 \cdot x = 1,2 \cdot 15 = 18[/tex]
e o percentual delas em relação à sala completa deste ano é de [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{18}{30}=60\%$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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