Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Eliseu, caminhando por um deserto, encontra uma estalagem na qual delibera descansar por alguns dias. Ele não tem dinheiro, tem apenas uma corrente de ouro com sete elos, e combina com o dono da estalagem o preço de um elo por cada dia de hospedagem, devendo o pagamento ser realizado diariamente (por exemplo, ele não pode esperar sete dias e pagar no final com toda a corrente). Os elos pagos, contudo, podem ser trocados por outros, pois o dono da estalagem não se importa se os elos estão soltos ou ligados.
Qual é o número mínimo de elos da corrente que Eliseu precisa abrir para que seja possível pagar diariamente os sete dias de hospedagem?
Adaptado de The USSR olympiad problem book.
Solução
[tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\text{É necessário abrir apenas um elo!} $}[/tex]
Observe que, abrindo o terceiro elo da corrente, obtemos os seguintes pedaços de corrente, que chamaremos de A, B e C.
- No primeiro dia, Eliseu entrega o pedaço B ([tex]1[/tex] elo pago).
- No segundo dia, Eliseu pega de volta o pedaço B e entrega o pedaço A ([tex]2[/tex] elos pagos).
- No terceiro dia, Eliseu entrega o pedaço B novamente ([tex]2+1=3[/tex] elos pagos).
- No quarto dia, Eliseu toma de volta os pedaços A e B e entrega o pedaço C ([tex]4[/tex] elos pagos).
- No quinto dia, Eliseu entrega o pedaço B ([tex]4+1=5[/tex] elos pagos).
- No sexto dia, Eliseu pega de volta o pedaço B e entrega o pedaço A ([tex]4+2=6[/tex] elos pagos).
- No sétimo dia, Eliseu torna a entregar o pedaço B, ficando todos os elos em posse do dono da estalagem ([tex]4+2+1=7[/tex] elos pagos).
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.