Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
A figura abaixo mostra nove quadrados [tex]1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} [/tex] e um círculo. O círculo passa pelos centros dos quatro quadrados dos cantos.
Qual é a área da região sombreada?
Adaptado de Olympiad Cayley – 2011.
Lembretes
(1) Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
(2) A área de um círculo de raio [tex]r[/tex] é dada por [tex]A=\pi\cdot r^2[/tex].
Solução
Considere a região do grande quadrado que fica fora do círculo. Observe, pela simetria da figura, que o centro do círculo coincide com o centro do quadrado do meio e também que a área sombreada da figura inicial (colorida de cinza) ocupa exatamente um quarto da área entre o grande quadrado e o círculo.
- O quadrado externo tem área de [tex]\boxed{9 \text{ cm}^2}[/tex], sendo composto por nove quadrados [tex]1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} [/tex].
- Pelo Teorema de Pitágoras (Lembrete 1), a diagonal de um quadrado [tex]1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} [/tex] tem comprimento [tex]x[/tex] tal que
- Observamos que o raio do círculo é a distância do centro do quadrado do meio ao centro de um quadrado do canto, então é a soma de duas metades de diagonais, ou seja, tem o comprimento de uma diagonal no total: [tex]r=\sqrt{2}\text{ cm}[/tex].
[tex]\qquad 1^2+1^2=x^2[/tex]
[tex]\qquad x^2=2[/tex]
e, como [tex]x[/tex] é uma medida,
[tex]\qquad \boxed{x=\sqrt{2}\text{ cm}}[/tex].
Portanto, pelo Lembrete 2, a área do círculo é:
[tex]\qquad \boxed{\pi\cdot r^2=\pi\cdot(\sqrt{2})^2=2\pi \text{ cm}^2}\,.[/tex]
Assim, a área entre o quadrado grande e o círculo é dada por [tex]9-2\pi \text{ cm}^2[/tex] e a região sombreada tem área igual a [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{4}\cdot (9-2\pi)=\dfrac{9-2\pi}{4} \text{ cm}^2$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.