Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Suponha que dezesseis seleções, entre as quais Brasil e Argentina, vão participar de um torneio. Serão formados quatro grupos de quatro seleções, por meio de um sorteio.
Qual é a probabilidade de que Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo?
Extraído de Métodos de Contagem e Probabilidade – Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Solução
Temos dois modos de resolver o problema: o modo mais “econômico” e o modo mais explicado.
Vamos começar pelo “econômico”.
Se o Brasil cair em um Grupo X, a Argentina terá [tex]3[/tex] vagas abertas para entrar nesse grupo e terá mais [tex]12[/tex] vagas fora do grupo, contando [tex]15[/tex] vagas no total.
Como queremos calcular a probabilidade de a Argentina ficar no mesmo grupo do Brasil, a resposta será: [tex]\dfrac{3}{15}= \dfrac{1}{5}[/tex].
Essa maneira pode parecer não muito segura; por isso, vamos pensar de outra maneira…
Na próxima maneira, vamos calcular inicialmente as possibilidades de composição das chaves do torneio:
▶ Primeira chave: [tex]\dfrac{16\times 15\times 14\times 13}{4!} [/tex];
▶ Segunda chave: [tex]\dfrac{12\times 11\times 10\times 9}{4!} [/tex];
▶ Terceira chave: [tex]\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4!} [/tex];
▶ Quarta chave: [tex]\dfrac{4!}{4!} [/tex].
- Multiplicando as possibilidades das chaves, teremos: [tex]\dfrac{16!}{(4!)^4} [/tex].
Agora, se considerarmos o Brasil e a Argentina como um time só, já que esses dois times deverão estar em um mesmo grupo, o número de possibilidades de definição desse grupo será [tex]\dfrac{1\times 14\times 13}{2!}[/tex].
Porém devemos multiplicar esse total por [tex]4[/tex], que é a quantidade de grupos dos quais Brasil e Argentina podem fazer parte:
▶ 1° Grupo: [tex]\dfrac{4\times 14\times13}{2!}[/tex]
▶ 2° Grupo: [tex]\dfrac{12\times 11\times 10\times 9}{4!} [/tex]
▶ 3° Grupo: [tex]\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4!}[/tex]
▶ 4° Grupo: [tex]\dfrac{4!}{4!}[/tex]
- Multiplicando as possibilidades dos grupos, teremos: [tex] \dfrac{14! \times 4} {2 \times (4!)^3} = \dfrac{14! \times 2}{(4!)^3}. [/tex]
Dividindo o número de possibilidades de Brasil e Argentina estarem juntos pelo número das possibilidades totais, temos:
[tex]\qquad \dfrac {\, \, \dfrac{14!\times 2}{(4!)^3}\, \, } {\, \, \dfrac{16!}{(4!)^4}\, \, } = \dfrac{14!\times 2}{(4!)^3} \times \dfrac{(4!)^4}{16!} = \dfrac{2\times (4!)}{16 \times 15} = \dfrac{1}{5}.[/tex]
Solução elaborada pelo Clube OS INCOMENSURÁVEIS DO RIO GRANDE DO NORTE, com contribuições dos Moderadores do Blog.